Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn \([-\ln 2 ; \ln 2]\) và thỏa mãn \(f(x)+f(-x)=\frac{1}{e^{x}+1}\). Biết \(\int_{-\ln 2}^{\ln 2} f(x) \mathrm{d} x=a \ln 2+b \ln 3(a ; b \in \mathbb{Q}) \text { . Tính } P=a+b \text { . }\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Gọi } I=\int_{-\ln 2}^{\ln 2} f(x) \mathrm{d} x \text { . }\\ &\text { Đặt } t=-x \Rightarrow \mathrm{d} t=-\mathrm{d} x \text { . }\\ &\text { Đổi cận: Với } x=-\ln 2 \Rightarrow t=\ln 2 ; \text { Với } x=\ln 2 \Rightarrow t=-\ln 2 \text { . }\\ &\text { Ta được } I=-\int_{\ln 2}^{-\ln 2} f(-t) \mathrm{d} t=\int_{-\ln 2}^{\ln 2} f(-t) \mathrm{d} t=\int_{-\ln 2}^{\ln 2} f(-x) \mathrm{d} x \text { . }\\ &\text { Khi đó ta có: } 2 I=\int_{-\ln 2}^{\ln 2} f(x) \mathrm{d} x+\int_{-\ln 2}^{\ln 2} f(-x) \mathrm{d} x==\int_{-\ln 2}^{\ln 2}[f(x)+f(-x)] \mathrm{d} x=\int_{-\ln 2}^{\ln 2} \frac{1}{\mathrm{e}^{x}+1} \mathrm{~d} x \text { . }\\ &\text { Xét } \int_{-\ln 2}^{\ln 2} \frac{1}{\mathrm{e}^{x}+1} \mathrm{~d} x \text { . Đặt } u=\mathrm{e}^{x} \Rightarrow \mathrm{d} u=\mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x\\ &\text { Đổi cận: Với } x=-\ln 2 \Rightarrow u=\frac{1}{2} ; x=\ln 2 \Rightarrow u=2 \text { . }\\ &\text { Ta được } \int_{-\ln 2}^{\ln 2} \frac{1}{\mathrm{e}^{x}+1} \mathrm{~d} x=\int_{-\ln 2}^{\ln 2} \frac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}\left(\mathrm{e}^{x}+1\right)} \mathrm{d} x=\int_{-\ln 2}^{\ln 2} \frac{1}{u(u+1)} \mathrm{d} u\\ &=\int_{-\ln 2}^{\ln 2}\left(\frac{1}{u}-\frac{1}{u+1}\right) \mathrm{d} u=\left.(\ln |u|-\ln |u+1|)\right|_{\frac{1}{2}} ^{2}=\ln 2\\ &\text { Vậy ta có } a=\frac{1}{2}, b=0 \Rightarrow a+b=\frac{1}{2} \text { . } \end{aligned}\)
Câu hỏi liên quan
-
Cho hình phẳng (H ) giới hạn bởi các đường \(y=\sqrt{x}-1\), trục hoành và đường thẳng x = 4 . Khối tròn xoay tạo thành khi quay (H ) quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?
-
Tìm m để \(\int\limits_{m}^{2}(3-2 x)^{4} d x=\frac{122}{5}\)
-
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = ex; y = 1 và x = 1 là
-
Cho hàm số \(f(x)=a \sin 2 x-b \cos 2 x \text { thỏa mãn } f^{\prime}\left(\frac{\pi}{2}\right)=-2 \text { và } \int_{a}^{b} a d x=3\) Tính tổng a + b bằng:
-
Hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số \(y=\left|x^{2}-4 x+3\right|, y=x+3\). Diện tích của (H) bằng
-
Tính \(\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(x+\sin ^{2} x\right) \cos x d x\) kết quả là:
-
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f’(x) liên tục trên đoạn [0; 1] thỏa mãn f(1) = 1 và \(I = \mathop \smallint \nolimits_0^1 f\left( x \right)dx = 2\). Tính tích phân \(I = \mathop \smallint \nolimits_0^1 f'\left( {\sqrt x } \right)dx\)
-
Cho hàm số f(x)liên tục trên \(R \text { và } \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} f(\tan x) \mathrm{d} x=4 ; \int_{0}^{1} \frac{x^{2} f(x)}{x^{2}+1} \mathrm{~d} x=2 . \text { Tính } I=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\)
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa \(\int\limits_{ – 2}^2 {f\left( {\sqrt {{x^2} + 5} – x} \right){\rm{d}}x} = 1,\int\limits_1^5 {\frac{{f\left( x \right)}}{{{x^2}}}{\rm{d}}x} = 3.\) Tính \(\int\limits_1^5 {f\left( x \right){\rm{d}}x} .\)
-
Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường\(y=x^{2}, y=0, x=0, x=4\) . Đường thẳng \(y=k(0<k<16)\) chia hình thành hai phần có diện tích \(S_{1}, S_{2}\) , (hình vẽ). Tìm k để \(S_{1}=S_{2}\)
-
Tính \(\displaystyle \int\limits_0^1 {{{(y - 1)}^2}\sqrt y } dy\)
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ.
.jpg.png)
Giá trị của biểu thức \(I = \int\limits_0^4 {f’\left( {x – 2} \right){\rm{d}}x + } \int\limits_0^2 {f’\left( {x + 2} \right){\rm{d}}x} \) bằng
-
Giá trị tích phân \(J=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(\sin ^{4} x+1\right) \cos x d x\) là
-
Giả sử \(\int_{2}^{3} \frac{x^{2}-3 x+2}{x^{2}-x+1} \mathrm{d} x=a \ln 7+b \ln 3+c \text { vói } a, b, c \in \mathbb{Z}\). Tính \(T=a+2 b^{2}+3 c^{3}\)
-
Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x =1 và x = 3, biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ \(x(1 \leq x \leq 3)\) thì được thiết diện là hình chữ nhật có hai cạnh là \(3 x \text { và } \sqrt{3 x^{2}-2}\)
-
Thể tích khối tròn xoay khi quay quanh trục tung một hình phẳng giới hạn bởi hình tròn tâm I(2;0) bán kính R = 1 là:
-
Tích phân \(I=\int_{1}^{\sqrt[4]{3}} \frac{1}{x\left(x^{4}+1\right)} d x\) bằng
-
Để hàm số f(x) = asinπx + b thỏa mãn f(1) = 2 và \(\mathop \smallint \nolimits_0^1 f\left( x \right)dx = 4\) thì a, b nhận giá trị
-
Cho hình phẳng (H ) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=\frac{1}{x}\)và các đường thẳng y = 0, x =1, x = 4 . Thể tích V của khối tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng (H ) quay quanh trục Ox .
-
Tích phân \(I=\int_{0}^{1}\left(a x^{2}+b x\right) d x\) có giá trị là:
