Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn \([-\ln 2 ; \ln 2]\) và thỏa mãn \(f(x)+f(-x)=\frac{1}{e^{x}+1}\). Biết \(\int_{-\ln 2}^{\ln 2} f(x) \mathrm{d} x=a \ln 2+b \ln 3(a ; b \in \mathbb{Q}) \text { . Tính } P=a+b \text { . }\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Gọi } I=\int_{-\ln 2}^{\ln 2} f(x) \mathrm{d} x \text { . }\\ &\text { Đặt } t=-x \Rightarrow \mathrm{d} t=-\mathrm{d} x \text { . }\\ &\text { Đổi cận: Với } x=-\ln 2 \Rightarrow t=\ln 2 ; \text { Với } x=\ln 2 \Rightarrow t=-\ln 2 \text { . }\\ &\text { Ta được } I=-\int_{\ln 2}^{-\ln 2} f(-t) \mathrm{d} t=\int_{-\ln 2}^{\ln 2} f(-t) \mathrm{d} t=\int_{-\ln 2}^{\ln 2} f(-x) \mathrm{d} x \text { . }\\ &\text { Khi đó ta có: } 2 I=\int_{-\ln 2}^{\ln 2} f(x) \mathrm{d} x+\int_{-\ln 2}^{\ln 2} f(-x) \mathrm{d} x==\int_{-\ln 2}^{\ln 2}[f(x)+f(-x)] \mathrm{d} x=\int_{-\ln 2}^{\ln 2} \frac{1}{\mathrm{e}^{x}+1} \mathrm{~d} x \text { . }\\ &\text { Xét } \int_{-\ln 2}^{\ln 2} \frac{1}{\mathrm{e}^{x}+1} \mathrm{~d} x \text { . Đặt } u=\mathrm{e}^{x} \Rightarrow \mathrm{d} u=\mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x\\ &\text { Đổi cận: Với } x=-\ln 2 \Rightarrow u=\frac{1}{2} ; x=\ln 2 \Rightarrow u=2 \text { . }\\ &\text { Ta được } \int_{-\ln 2}^{\ln 2} \frac{1}{\mathrm{e}^{x}+1} \mathrm{~d} x=\int_{-\ln 2}^{\ln 2} \frac{\mathrm{e}^{x}}{\mathrm{e}^{x}\left(\mathrm{e}^{x}+1\right)} \mathrm{d} x=\int_{-\ln 2}^{\ln 2} \frac{1}{u(u+1)} \mathrm{d} u\\ &=\int_{-\ln 2}^{\ln 2}\left(\frac{1}{u}-\frac{1}{u+1}\right) \mathrm{d} u=\left.(\ln |u|-\ln |u+1|)\right|_{\frac{1}{2}} ^{2}=\ln 2\\ &\text { Vậy ta có } a=\frac{1}{2}, b=0 \Rightarrow a+b=\frac{1}{2} \text { . } \end{aligned}\)
