Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số x³−x và đồ thị hàm số y = x−x²

Cho hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn $2 f^{3}(x)-3 f^{2}(x)+6 f(x)=x, \forall x \in \mathbb{R}$ . Tính tích phân $I=\int_{0}^{5} f(x) \mathrm{d} x$

$\displaystyle  \int\limits_0^1 {x{e^{1 - x}}dx}$ bằng

Nếu $\int_{-2}^{0}\left(5-e^{-x}\right) d x=K-e^{2}$ thì giá trị của K là:
 

Cho hàm số $f(x) \neq 0$ thỏa mãn điều kiện $f^{\prime}(x)=(2 x+3) \cdot f^{2}(x) \text { và } f(0)=\frac{-1}{2}$ . Biết tổng $f(1)+f(2)+\ldots+f(2017)+f(2018)=\frac{a}{b} \text { với } a \in \mathbb{Z}, b \in \mathbb{N}^{*} \text { và } \frac{a}{b}$ là phân số tối giản.
Mệnh đề nào sau đây đúng? 

Tính $I=\int_{a}^{b} \frac{a-x^{2}}{\left(a+x^{2}\right)^{2}} \mathrm{d} x(\text { với } a, b$ là các số thực dương cho trước).

Cho $\int_{0}^{1} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x+2}+\sqrt{x+1}}=a \sqrt{b}-\frac{8}{3} \sqrt{a}+\frac{2}{3},\left(a, b \in \mathbb{N}^{*}\right) . \text { Tính } a+2 b$

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên $(0 ;+\infty)$ thỏa mãn $x^{2} f^{\prime}(x)+f(x)=0 \text { và } f(x) \neq 0, \forall x \in(0 ;+\infty)$. Tính $f(2) \text { biết } f(1)=\mathrm{e}$

$\text { Cho tích phân } I=\int_{1}^{\mathrm{e}} \frac{3 \ln x+1}{x} \mathrm{~d} x . \text { Nếu đặt } t=\ln x \text { thì }$

Cho hai hàm số y = f(x), y = g(x), số thực k ∈ R là các hàm số khả tích trên [a;b] ⊂ R và c ∈ [a;b]. Khi đó biểu thức nào sau đây là biểu thức sai.

Giá trị của tích phân $% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamysaiabg2 % da9maapehabaGaamiEaiGacogacaGGVbGaai4CamaaCaaaleqabaGa % aGOmaaaakiaadIhacaqGKbGaamiEaaWcbaGaaGimaaqaamaalaaaba % GaeqiWdahabaGaaGOmaaaaa0Gaey4kIipaaaa!4517! I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {x{{\cos }^2}x{\rm{d}}x}$ được biểu diễn dưới dạng $% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamyyaiaac6 % cacqaHapaCdaahaaWcbeqaaiaaikdaaaGccqGHRaWkcaWGIbaaaa!3C05! a.{\pi ^2} + b$ $(a,b \in Q)$.Khi đó tích a.b bằng

Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\frac{1}{x} \ln x$, trục hoành và đường thẳng x = e bằng

Cho $\mathop \smallint \nolimits_0^2 f\left( x \right)dx = 3$. Khi đó $\mathop \smallint \nolimits_0^2 \left[ {4f\left( x \right) - 3} \right]dx$ bằng

Giá trị của tích phân $\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\text{max}\left\{ \sin x,\cos x \right\}\text{d}x}$ bằng

Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn $[a ; b] \text { và } c \in[a ; b]$ . Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $\left( P \right):\;y = {x^2} + 3$, tiếp tuyến của (P) tại điểm có hoành độ x = 2 và trục tung bằng 

Cho $\mathop \smallint \nolimits_1^2 f\left( {{x^2} + 1} \right)xdx\; = \;2\;$. Khi đó $\mathop \smallint \nolimits_2^5 f\left( x \right)dx$ bằng

Tích phân$\int\limits_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2 \pi}{3}} \cos \left(3 x-\frac{2 \pi}{3}\right) d x$ có giá trị là

Cho hàm số f (x) xác định trên $\mathbb{R} \backslash\left\{\frac{1}{2}\right\}$ thỏa mãn $f^{\prime}(x)=\frac{2}{2 x-1}, f(0)=1 \text { và } f(1)=2$. Giá trị của biểu thức $f(-1)+f(3)$bằng?

 Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên khoảng $(0 ; 1) \text { và } f(x) \neq 0, \forall x \in(0 ; 1)$ Biết rằng $f\left(\frac{1}{2}\right)=a, f\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=b \text { và } x+x f^{\prime}(x)=2 f(x)-4, \forall x \in(0 ; 1)$. Tính tích phân $I=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin ^{2} x \cdot \cos x+2 \sin 2 x}{f^{2}(\sin x)} \mathrm{d} x \text { theo } a \text { và } b$

Nếu $\displaystyle  \int\limits_a^d {f\left( x \right)dx}  = 5,\int\limits_b^d {f\left( x \right)dx}  = 2$ với $\displaystyle  a < d < b$ thì $\displaystyle  \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}$ bằng