Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên khoảng \((0 ; 1) \text { và } f(x) \neq 0, \forall x \in(0 ; 1)\) Biết rằng \(f\left(\frac{1}{2}\right)=a, f\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=b \text { và } x+x f^{\prime}(x)=2 f(x)-4, \forall x \in(0 ; 1)\). Tính tích phân \(I=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin ^{2} x \cdot \cos x+2 \sin 2 x}{f^{2}(\sin x)} \mathrm{d} x \text { theo } a \text { và } b\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{array}{l} \forall x \in(0 ; 1) \text { ta có: } \\ x+x f^{\prime}(x)=2 f(x)-4 \Leftrightarrow x+4=2 f(x)-x f^{\prime}(x) \Rightarrow x^{2}+4 x=2 x f(x)-x^{2} f^{\prime}(x) \\ \Leftrightarrow \frac{x^{2}+4 x}{f^{2}(x)}=\frac{2 x f(x)-x^{2} f^{\prime}(x)}{f^{2}(x)} \Leftrightarrow \frac{x^{2}+4 x}{f^{2}(x)}=\left(\frac{x^{2}}{f(x)}\right)^{\prime} \end{array}\)
Tính \(I=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin ^{2} x \cdot \cos x+2 \sin 2 x}{f^{2}(\sin x)} \mathrm{d} x=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin ^{2} x \cdot \cos x+4 \sin x \cdot \cos x}{f^{2}(\sin x)} \mathrm{d} x\)
Đặt \(t=\sin x \Rightarrow \mathrm{d} t=\cos x \mathrm{~d} x, \text { đổi cận } x=\frac{\pi}{6} \Rightarrow t=\frac{1}{2}, x=\frac{\pi}{3} \Rightarrow t=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
Khi đó ta có
\(I=\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{t^{2}+4 t}{f^{2}(t)} \mathrm{d} t=\left.\frac{t^{2}}{f(t)}\right|_{\frac{1}{2}} ^{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}{f\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}-\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}{f\left(\frac{1}{2}\right)}=\frac{3}{4 b}-\frac{1}{4 a}=\frac{3 a-b}{4 a b}\)
