Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên khoảng \((0 ; 1) \text { và } f(x) \neq 0, \forall x \in(0 ; 1)\) Biết rằng \(f\left(\frac{1}{2}\right)=a, f\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=b \text { và } x+x f^{\prime}(x)=2 f(x)-4, \forall x \in(0 ; 1)\). Tính tích phân \(I=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin ^{2} x \cdot \cos x+2 \sin 2 x}{f^{2}(\sin x)} \mathrm{d} x \text { theo } a \text { và } b\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{array}{l} \forall x \in(0 ; 1) \text { ta có: } \\ x+x f^{\prime}(x)=2 f(x)-4 \Leftrightarrow x+4=2 f(x)-x f^{\prime}(x) \Rightarrow x^{2}+4 x=2 x f(x)-x^{2} f^{\prime}(x) \\ \Leftrightarrow \frac{x^{2}+4 x}{f^{2}(x)}=\frac{2 x f(x)-x^{2} f^{\prime}(x)}{f^{2}(x)} \Leftrightarrow \frac{x^{2}+4 x}{f^{2}(x)}=\left(\frac{x^{2}}{f(x)}\right)^{\prime} \end{array}\)
Tính \(I=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin ^{2} x \cdot \cos x+2 \sin 2 x}{f^{2}(\sin x)} \mathrm{d} x=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin ^{2} x \cdot \cos x+4 \sin x \cdot \cos x}{f^{2}(\sin x)} \mathrm{d} x\)
Đặt \(t=\sin x \Rightarrow \mathrm{d} t=\cos x \mathrm{~d} x, \text { đổi cận } x=\frac{\pi}{6} \Rightarrow t=\frac{1}{2}, x=\frac{\pi}{3} \Rightarrow t=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
Khi đó ta có
\(I=\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{t^{2}+4 t}{f^{2}(t)} \mathrm{d} t=\left.\frac{t^{2}}{f(t)}\right|_{\frac{1}{2}} ^{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}{f\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}-\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}{f\left(\frac{1}{2}\right)}=\frac{3}{4 b}-\frac{1}{4 a}=\frac{3 a-b}{4 a b}\)
Câu hỏi liên quan
-
Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình tròn \(\text { (C ) }:(x+2)^{2}+(y-3)^{2} \leq 1\) quanh trục Ox.
-
Cho hình phẳng (H ) giới hạn bởi các đường \(y=\left|x^{2}-4 x+3\right|, y=x+3\) (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của (H ) bằng
-
Cho hai số thực , tùy ý, là một nguyên hàm của hàm số trên tập \(\mathbb{R}\) . Mệnhđề nào dưới đây là đúng?
-
Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng (H ) giới hạn bởi\(y=x^{2}\text{ và }y=x+2\) quanh trục Ox là
-
Cho hai hàm số \(f(x)\) và \(g(x)\) liên tục trên \(K, a, b \in K\). Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
-
Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi phép quay xung quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=0, y=\sqrt{x}, y=x-2\)
-
Cho \(\int\limits_2^5 {\frac{{{\rm{d}}x}}{x}} = \ln a\). Tìm \(a\)
-
Cho hình phẳng như hình vẽ. Tính diện tích hình phẳng (H)
-
Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi parabol \(y=2-x^{2}\) và đường thẳng y=-x là
-
Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường \(y=x^{2}-2 x\) , trục hoành, trục tung, đường thẳng x =1. Tính thể tích V hình tròn xoay sinh ra bởi (H) khi quay (H) quanh trục Ox.
-
Cho tích phân:\(I=\int\limits_{1}^{e} \frac{\sqrt{1-\ln x}}{2 x} d x\) .Đặt \(u=\sqrt{1-\ln x}\) .Khi đó I bằng
-
Tính tích phân sau \(A = \mathop \smallint \nolimits_0^1 x\sqrt {1 + {x^2}} dx\)
-
Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn \([a ; b] \text { và } c \in[a ; b]\) . Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.
-
Xét hàm số f liên tục trên R và các số thực a, b, c tùy ý. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
-
Thể tích khối tròn xoay sinh ra do quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x3, trục Ox, x = −1, x = 1 một vòng quanh trục Ox là:
-
Cho \(\int_{0}^{1}[f(x)-2 g(x)] \mathrm{d} x=12 \text { và } \int_{0}^{1} g(x) \mathrm{d} x=5 \text {. Khi đó } \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\) bằng:
-
Nếu \(\int_{2}^{3} \frac{x+2}{2 x^{2}-3 x+1} \mathrm{d} x=a \ln 5+b \ln 3+3 \ln 2(a, b \in \mathbb{Q})\) thì giá trị của P=2a-b là:
-
Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=x^{2}+x-2\) và trục hoành bằng
-
Tính tích phân sau \(J = \mathop \smallint \nolimits_2^7 \frac{{xdx}}{{\sqrt {x + 2} + \sqrt {x - 2} }}\)
-
Biết tích phân \(I_{1}=\int_{0}^{1} 2 x d x=a\) . Giá trị của là \(I_{2}=\int_{a}^{2}\left(x^{2}+2 x\right) d x\) là:
