Gọi S là diện tích miền hình phẳng được tô đậm trong hình vẽ bên. Công thức tính S là

Giả sử \(\int_{3}^{5} \frac{\mathrm{d} x}{x^{2}-x}=a \ln 5+b \ln 3+c \ln 2 , \int_{3}^{5} \frac{d x}{x^{2}-x}=a \ln 5+b \ln 3+c \ln 2,\,(a, b, c \in \mathbb{Z})\) Tính giá trị biểu thức \(S=-2 a+b+3 c^{2}\)
 

Tính tích phân \(I = \int\limits_0^1 {(x – 2){e^{2x}}dx} \)

Nếu \(\int_{0}^{1}[3 f(x)+x] \mathrm{d} x=2 \text{ thì } \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\) bằng:

Tích phân \(I=\int_{1}^{2} \frac{a x+1}{x^{2}+3 x+2} d x=\frac{3}{5} \ln \frac{4}{3}+\frac{3}{5} \ln \frac{2}{3}\) . Giá trị của a là

Cho hàm số f(x) đồng biến và có đạo hàm lên tục trên đoạn [1;4] thỏa mãn f(1)=1 và \(\left[f(x)+x f^{\prime}(x)\right]^{2}=4 f(x), \forall x \in[1 ; 4]\). Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f(x)\) , trục hoành và hai đường thẳng \(x=1, x=4\).

Hàm số f(x) liên tục trên [-1;2] và thỏa mãn điều kiện \(f(x)=\sqrt{x+2}+x f\left(3-x^{2}\right)\) . Tính giá trị của tích phân \(I=\int_{-1}^{2} f(x) \mathrm{d} x\)?

Tính \(\displaystyle  \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{x\sin x + (x + 1)\cos x}}{{x\sin x + \cos x}}dx} \)

Tích phân \(I=\int\limits_{-1}^{0} x \sqrt[3]{x+1} d x\) có giá trị là
 

Giá trị của tích phân \(I=\int^{\ln 2}_0 \sqrt{e^{x}-1} d x\) là

Tính \(% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamysaiabg2 % da9maapehabaGaamiEaiaac6cacaaIYaWaaWbaaSqabeaacaWG4baa % aOGaaeizaiaadIhaaSqaaiaaicdaaeaacaaIYaaaniabgUIiYdaaaa!4129! I = \int\limits_0^2 {x{{.2}^x}{\rm{d}}x} \)

Giả sử \(\int\limits_0^9 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 37\) và \(\int\limits_9^0 {g\left( x \right){\rm{d}}x} = 16\). Khi đó, \(I = \int\limits_0^9 {\left[ {2f\left( x \right) + 3g(x)} \right]{\rm{d}}x} \) bằng:

\(\begin{equation} \text { Biết } \int_{0}^{1} f(x) d x=\frac{1}{3} \text { và } \end{equation}\) \(\begin{equation} \int_{0}^{1} g(x) d x=\frac{4}{3} . \text { Khi đó } \int_{0}^{1}(g(x)-f(x)) d x \text { bằng } \end{equation}\)

Tính \(\displaystyle \int\limits_0^1 {{{(y - 1)}^2}\sqrt y } dy\)

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {0;1} \right]\) và thỏa mãn \(\int_0^1 {xf\left( x \right){\rm{d}}x} = 0\) và \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;1} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = 1\).Tích phân \(I = \int_0^1 {{e^x}f\left( x \right){\rm{d}}x} \) thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây?

Số lượng một loại vi khuẩn gây bệnh có trong cơ thể của một người sau thời gian t (ngày) là f(t), trong đó \(f'\left( t \right) = \frac{{10000}}{{3t + 1}}.\) Một người mắc bệnh do vi khuẩn gây ra. Khi đi khám lần thứ nhất, trong cơ thể của người này có 1000 con vi khuẩn nhưng lúc này cơ thể chưa phát bệnh. Biết rằng nếu trong cơ thể người đó có trên 12000 con vi khuẩn thì người này sẽ ở tình trạng nguy hiểm. Hỏi sau 10 ngày người đó đi khám lại thì trong cơ thể của họ có đang trong tình trạng nguy hiểm không, nếu có thì số lượng vi khuẩn vượt ngưỡng an toàn là bao nhiêu con?

Có bao nhiêu số thực b thuộc khoảng \((\pi ; 3 \pi)\) sao cho \(\int_{\pi}^{b} 4 \cos 2 x d x=1 ?\)

Cho f(x) là hàm liên tục trên đoạn [0;a] thỏa mãn \(\left\{\begin{array}{c} f(x) \cdot f(a-x)=1 \\ f(x)>0, \forall x \in[0 ; a] \end{array}\right.\)và \(\int_{0}^{a} \frac{\mathrm{d} x}{1+f(x)}=\frac{b a}{c}\), trong đó b , c là hai số nguyên dương và \(\frac{b}{c}\) là phân số tối giản. Khi đó b+c có giá trị thuộc khoảng nào dưới đây? 

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y = 1, y = x và đồ thị hàm số \(y\; = \;\frac{{{x^2}}}{4}\) trong miền x ≥ 0, y ≤ 1 là a/b. Khi đó b - a bằng

Tính tích phân sau: \(\mathop \smallint \nolimits_0^2 \left| {{x^2} - 1} \right|dx\)

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên ℝ . Biết \(\int_{0}^{x^{2}} f(t) d t=e^{x^{2}}+x^{4}-1 \text { với } \forall x \in \mathbb{R}\)  với \(\forall x \in \mathbb{R}\). Giá trị của f (4) là: