Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên \((0 ;+\infty)\) thỏa mãn \(x^{2} f^{\prime}(x)+f(x)=0 \text { và } f(x) \neq 0, \forall x \in(0 ;+\infty)\). Tính \(f(2) \text { biết } f(1)=\mathrm{e}\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Ta có } f(x) \neq 0, \forall x \in(0 ;+\infty) \Rightarrow f(x)=0 \text { không có nghiệm trên khoảng }(0 ;+\infty)\\ &\Rightarrow f(x)=0 \text { không có nghiệm trên khoảng }(1 ; 2) \Rightarrow f(1) \cdot f(2)>0, \forall x \in(1 ; 2)\\ &\text { Mà } f(1)=\mathrm{e}>0 \text { nên } f(2)>0\\ &\text { Do đó } x^{2} f^{\prime}(x)+f(x)=0 \Leftrightarrow \frac{1}{x^{2}}=-\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} \end{aligned}\)
\(\begin{array}{l} \text { Suy ra } \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}} \mathrm{~d} x=-\int_{1}^{2} \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} \mathrm{d} x \Leftrightarrow-\left.\frac{1}{x}\right|_{1} ^{2}=-\ln \mid f(x) \|_{1}^{2} \\ \Leftrightarrow-\left(\frac{1}{2}-1\right)=-(\ln |f(2)|-\ln |f(1)|) \Leftrightarrow \frac{1}{2}=-[\ln f(2)-\ln \mathrm{e}] \\ \Leftrightarrow \frac{1}{2}=-\ln f(2)+1 \Leftrightarrow \ln f(2)=\frac{1}{2} \Leftrightarrow f(2)=\mathrm{e}^{\frac{1}{2}}=\sqrt{\mathrm{e}} \end{array}\)
