Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên \((0 ;+\infty)\) thỏa mãn \(x^{2} f^{\prime}(x)+f(x)=0 \text { và } f(x) \neq 0, \forall x \in(0 ;+\infty)\). Tính \(f(2) \text { biết } f(1)=\mathrm{e}\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Ta có } f(x) \neq 0, \forall x \in(0 ;+\infty) \Rightarrow f(x)=0 \text { không có nghiệm trên khoảng }(0 ;+\infty)\\ &\Rightarrow f(x)=0 \text { không có nghiệm trên khoảng }(1 ; 2) \Rightarrow f(1) \cdot f(2)>0, \forall x \in(1 ; 2)\\ &\text { Mà } f(1)=\mathrm{e}>0 \text { nên } f(2)>0\\ &\text { Do đó } x^{2} f^{\prime}(x)+f(x)=0 \Leftrightarrow \frac{1}{x^{2}}=-\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} \end{aligned}\)
\(\begin{array}{l} \text { Suy ra } \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}} \mathrm{~d} x=-\int_{1}^{2} \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} \mathrm{d} x \Leftrightarrow-\left.\frac{1}{x}\right|_{1} ^{2}=-\ln \mid f(x) \|_{1}^{2} \\ \Leftrightarrow-\left(\frac{1}{2}-1\right)=-(\ln |f(2)|-\ln |f(1)|) \Leftrightarrow \frac{1}{2}=-[\ln f(2)-\ln \mathrm{e}] \\ \Leftrightarrow \frac{1}{2}=-\ln f(2)+1 \Leftrightarrow \ln f(2)=\frac{1}{2} \Leftrightarrow f(2)=\mathrm{e}^{\frac{1}{2}}=\sqrt{\mathrm{e}} \end{array}\)
Câu hỏi liên quan
-
Tích phân \(% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamysaiabg2 % da9maapehabaGaaG4maiaadIhacaqGLbWaaWbaaSqabeaacaWG4baa % aOGaaeizaiaadIhaaSqaaiabgkHiTiaaigdaaeaacaaIYaaaniabgU % IiYdaaaa!424E! I = \int\limits_{ - 1}^2 {3x{{\rm{e}}^x}{\rm{d}}x} \) nhận giá trị nào sau đây
-
Tích phân \(I=\int_{1}^{2} \frac{a x+1}{x^{2}+3 x+2} d x=\frac{3}{5} \ln \frac{4}{3}+\frac{3}{5} \ln \frac{2}{3}\) . Giá trị của a là
-
Cho (H ) là hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y=\mathrm{e}, y=\mathrm{e}^{x} \text { và } y=(1-\mathrm{e}) x+1\) (tham khảo hình vẽ bên).
Diện tích hình phẳng (H ) là
-
Cho hàm số\(y=x^{4}-3 x^{2}+m\) có đồ thị (Cm ) , với m là tham số thực. Giả sử (Cm ) cắt trục Ox tại bốn điểm phân biệt như hình vẽ
Gọi \(S_{1}, S_{2}, S_{3}\) là diện tích các miền gạch chéo được cho trên hình vẽ. Giá trị của m để \(S_{1}+S_{3}=S_{2}\)
-
Cho hàm số f(x) đồng biến và có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn
\(f(0)=0\) và \(f^{\prime}(x)=2 x[1+f(x)], \forall x \in \mathbb{R}\) Giá trị của \(\int_{0}^{1} 2 x f(x) d x\) bằng? -
Tích phân \(\int_{0}^{1} d x\) có giá trị bằng
-
Cho hàm số y =f(x) liên tục và có đồ thị như hình bên. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số đã cho và trục Ox . Quay hình phẳng D quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích V được xác định theo công thức
.png)
-
Tính diện tích miền hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=x^{2}-2 x, y=0, x=-10, x=10\)
-
Cho tích phân \(I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(2-x) \sin x d x\). Đặt \(u=2-x, d v=\sin x d x\) thì I bằng
-
Nếu \(\int_{1}^{3}[f(x)-2 x] \mathrm{d} x=5 \text { thì } \int_{1}^{3} f(x) \mathrm{d} x \text { bằng }\)
-
Tính tích phân \(I = \int\limits_1^2 {x{e^x}dx} \)
-
Tính \(\mathop \smallint \nolimits_0^1 x.{e^{2x}}dx\)
-
Cho hàm số \(f(x)=\left\{\begin{array}{lll} 2 x^{2}+x & \text { khi } & x \geq 0 \\ x \cdot \sin x & \text { khi } & x \leq 0 \end{array}\right.\). Tính tích phân \(I=\int_{-\pi}^{1} f(x) \mathrm{d} x\)
-
Cho hàm số f(x) liên tục trên R và có \(\mathop \smallint \nolimits_0^2 f\left( x \right)dx = 3\). Tính \(\mathop \smallint \nolimits_{ - 1}^1 \left| {f\left( {2x} \right)} \right|dx\)
-
Tính diện tích hình phẳng tạo thành bởi parabol \(y=x^{2},y=-x+2\)và trục hoành trên đoạn [0;2] (phần gạch sọc trong hình vẽ)
-
Tích phân \(I = \mathop \smallint \nolimits_0^1 \frac{{dx}}{{{x^2} - 5x + 6}}\) bằng
-
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (H): \(y=\frac{x-1}{x+1}\) và các trục tọa độ. Khi đó giá trị của S bằng
-
Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định và liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(2{{\left[ f(x) \right]}^{3}}+3f(x)+5=x\) với \(\forall x\in \mathbb{R}\). Tính\(I=\int\limits_{5}^{10}{f(x)dx}\).
-
Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên R và thỏa mãn f(2016) = a, f(2017) = b, \(\left( {a;\;b \in R} \right)\). Giá trị \(I = \mathop \smallint \nolimits_{2017}^{2016} 2015f'\left( x \right).{f^{2014}}\left( x \right)dx\) bằng:
-
Tích phân \(I = \mathop \smallint \nolimits_0^{\frac{{\rm{\pi }}}{6}} {\sin ^3}x.\cos \;xdx\) bằng:
