Cho hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {2{x^3} - x}&{{\rm{ khi }}x \ge 1}\\ { - 3x + 2}&{{\rm{ khi }}x < 1} \end{array}} \right.$. Biết $I=\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}{\frac{f\left( \tan x \right)}{{{\cos }^{2}}x}}dx+\int\limits_{0}^{\sqrt{\sqrt{e}-1}}{\frac{x.f\left( \ln \left( {{x}^{2}}+1 \right) \right)}{{{x}^{2}}+1}}dx=\frac{a}{b}$với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Giá trị của tổng $a+b$ bằng

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số $y=\sqrt{x} \text { và } y=\sqrt[3]{x}$

Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) . Khi đó hiệu số $F(0)-F(1)$ bằng

Biết rằng $I = \mathop \smallint \limits_1^e \frac{{{{\ln }^2}x + \ln x}}{{{{\left( {\ln x + x + 1} \right)}^3}}}{\mkern 1mu} {\rm{d}}x = \frac{{a{e^2} + be - 12}}{{8{{(e + 2)}^2}}}$ với a, b là các số nguyên dương. Hiệu b - a bằng

Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên $(0 ;+\infty)$ thỏa mãn $x^{2} f^{\prime}(x)+f(x)=0 \text { và } f(x) \neq 0, \forall x \in(0 ;+\infty)$. Tính $f(2) \text { biết } f(1)=\mathrm{e}$

Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên R và thỏa mãn $\int_{0}^{3} x \cdot f^{\prime}(2 x-4) \mathrm{d} x=8 ; f(2)=2 . \text { Tính } I=\int_{-2}^{1} f(2 x) \mathrm{d} x$?

Tính diện tích hình phẳng tạo thành bởi parabol $y=x^{2},y=-x+2$và trục hoành trên đoạn [0;2] (phần gạch sọc trong hình vẽ)

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm $f’\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $f’\left( x \right) \in \left[ { – 1;1} \right]$ với mọi $x \in \left[ {0;2} \right]$. Biết rằng $f\left( 0 \right) = f\left( 2 \right) = 1$. Đặt $I = \int\limits_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x}$, phát biểu nào dưới đây đúng?

Tích phân $\int\limits_1^2 {2x{\rm{d}}x}$ có giá trị là:

Tính tích phân $I = \int\limits_0^1 {\frac{4}{{2x + 1}}{\rm{d}}x}$

Tính diện tích hình phẳng D giới hạn bởi các đường $y = {\sin ^2}x\cos x,x = 0,x = \pi ,y = 0$

Cho hàm số f(x) liên tục và nhận giá trị dương trên [ 0;1] . Biết $f(x) \cdot f(1-x)=1$ với $\forall x \in[0 ; 1]$ . Tính giá trị của $I=\int_{0}^{1} \frac{\mathrm{d} x}{1+f(x)}$

Tính tích phân $I = \mathop \smallint \nolimits_0^{\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}dx$

Cho tích phân:$I=\int\limits_{1}^{e} \frac{\sqrt{1-\ln x}}{2 x} d x$ .Đặt $u=\sqrt{1-\ln x}$ .Khi đó I bằng

Cho f(x); g(x) là hai hàm liên tục trên đoạn [-1;1]. f(x) là hàm chẵn, g(x) là hàm lẽ . Biết $% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaa8qCaeaaca % WGMbWaaeWaaeaacaWG4baacaGLOaGaayzkaaGaaeizaiaadIhacqGH % 9aqpcaaI1aaaleaacaaIWaaabaGaaGymaaqdcqGHRiI8aaaa!40EB! \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x = 5}$$% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaa8qCaeaaca % WGNbWaaeWaaeaacaWG4baacaGLOaGaayzkaaGaaeizaiaadIhacqGH % 9aqpcaaI3aGaaGPaVdWcbaGaaGimaaqaaiaaigdaa0Gaey4kIipaaa % a!4279! ; \int\limits_0^1 {g\left( x \right){\rm{d}}x = 7\,}$. Mệnh đề nào sau đây sai ?

Giá trị của tích phân $I=\int_{-1}^{0} \frac{x^{3}-3 x^{2}+2}{x^{2}+x-2} d x$ gần nhất với gái trị nào sau đây?

Tích phân $I=\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{2}-x-2}$ có giá trị bằng

Cho $\int\limits_1^2 {\left[ {3f\left( x \right) + 2g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = 1, \int\limits_1^2 {\left[ {2f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = – 3$. Khi đó, $\int\limits_1^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x}$ bằng

Tích phân $I = \mathop \smallint \nolimits_0^1 \left( {3{x^2} + 2x - 1} \right)dx$ bằng

Cho $y = f\left( x \right), y = \,g\left( x \right)$ là các hàm số có đạo hàm liên tục trên $\left[ {0;2} \right]$ và $\int\limits_0^2 {g\left( x \right).f\prime \left( x \right){\rm{d}}x} = 2, \int\limits_0^2 {g\prime \left( x \right).f\left( x \right){\rm{d}}x} = 3$. Tính tích phân $I = \int\limits_0^2 {{{\left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right]}^\prime }{\rm{d}}x}$.

Giá trị của a để $\begin{equation} \int_{3}^{4} \frac{1}{(x-1)(x-2)} \mathrm{d} x=\ln a \end{equation}$ là: