Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm $f’\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $f’\left( x \right) \in \left[ { – 1;1} \right]$ với mọi $x \in \left[ {0;2} \right]$. Biết rằng $f\left( 0 \right) = f\left( 2 \right) = 1$. Đặt $I = \int\limits_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x}$, phát biểu nào dưới đây đúng?

Cho hàm số $\begin{equation} f(x), g(x) \text { liên tục trên }[0 ; 1] \text { và } \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=-1, \int_{0}^{1} g(x) \mathrm{d} x=2 \text {. Tính } \int_{0}^{1}[2 f(x)+3 g(x)] \mathrm{d} x \end{equation}$

Cho $\int\limits_0^1 {\left[ {f\left( x \right) – 2g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = 12$ và $\int\limits_0^1 {g\left( x \right){\rm{d}}x} = 5$, khi đó $\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x}$ bằng

Tích phân $I=\int\limits_{0}^{\sqrt[3]{7}} \frac{3 x^{5}}{\sqrt[3]{8-x^{3}}} d x$ có giá trị là:

Cho $\int\limits_2^5 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 10$. Kết quả $\int\limits_5^2 {\left[ {2 – 4f\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x}$ bằng

Biết rằng  $\int_{1}^{5} \frac{3}{x^{2}+3 x} \mathrm{d} x=a \ln 5+b \ln 2(a, b \in Z)$. Mệnh đề nào sau đây đúng
 

Kết quả $I=\int_{0}^{1} \frac{x}{4-x^{2}} d x$ là

Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong $y=\sqrt{2+\cos x}$, trục hoành và các đường thẳng$x=0, x=\frac{\pi}{2}$. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?

Cho $I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos 2 x}{1+2 \sin 2 x} d x=\frac{1}{4} \ln 3$ Tìm giá trị của a là:
 

Nếu $\int_{2}^{3} \frac{x+2}{2 x^{2}-3 x+1} \mathrm{d} x=a \ln 5+b \ln 3+3 \ln 2(a, b \in \mathbb{Q})$ thì giá trị của P=2a-b là:

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Mệnh đề nào dưới đây sai?

Tính $\int_{0}^{\pi} x(1+\cos x) d x$ kết quả là:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong $y=x \ln x$, trục hoành và đường thẳng x=e là

Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[ { – 1;3} \right],\,\,f\left( { – 1} \right) = 3$ và $\int\limits_{ – 1}^3 {f’\left( x \right){\rm{d}}x} = 10$. Tính $f\left( 3 \right)$.

Cho hình phẳng (H ) giới hạn bởi các đường $y=\sqrt{x}-1$, trục hoành và đường thẳng x = 4 . Khối tròn xoay tạo thành khi quay (H ) quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?

Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn $[a ; b] \text { và } c \in[a ; b]$ . Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

Cho hình phẳng (H ) giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x \cdot \ln x$ , trục hoành và hai đường thẳng x =1; x = 2 . Thể tích vật thể tròn xoay sinh bới (H ) khi nó quay quanh trục hoành có thể tích V được xác định bởi
 

Hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số$y=\left|x^{2}-1\right|, y=|x|+5$ . Diện tích của (H) bằng

Biết $\int_1^2 {\left[ {3f\left( x \right) + 2g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = 8,\,\,\int_1^2 {\left[ {4f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = 7$. Tính $\int_1^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x}$

Cho hình phẳng (H ) giới hạn bởi các đường $y=\left|x^{2}-4 x+3\right|, y=x+3$ (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của (H ) bằng

Tính tích phân sau: $I = \mathop \smallint \nolimits_0^1 \frac{{dx}}{{1 + {x^2}}}$