Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên R và thỏa mãn \(\int_{0}^{3} x \cdot f^{\prime}(2 x-4) \mathrm{d} x=8 ; f(2)=2 . \text { Tính } I=\int_{-2}^{1} f(2 x) \mathrm{d} x\)?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &+\text { Xét } J=\int_{0}^{3} x \cdot f^{\prime}(2 x-4) \mathrm{d} x=8\\ &\text { Đặt } u=x \text { và } \mathrm{d} v=f^{\prime}(2 x-4) \mathrm{d} x=\mathrm{d}\left(\frac{1}{2} f(2 x-4)\right), \text { ta được } \mathrm{d} u=\mathrm{d} x \text { và } v=\frac{1}{2} f(2 x-4) \text { . }\\ &\Rightarrow J=\left.\frac{1}{2} x \cdot f(2 x-4)\right|_{0} ^{3}-\frac{1}{2} \int_{0}^{3} f(2 x-4) \mathrm{d} x=\frac{3}{2} f(2)-\frac{1}{2} \int_{0}^{3} f(2 x-4) \mathrm{d} x=3-\frac{1}{2} \int_{0}^{2} f(2 x-4) \mathrm{d} x \end{aligned}\)
\(\begin{array}{l} \text { Vì } J=8 \Rightarrow 3-\frac{1}{2} \int_{0}^{3} f(2 x-4) \mathrm{d} x=8 \Rightarrow \int_{0}^{3} f(2 x-4) \mathrm{d} x=-10 \\ \text { Đặt } 2 t=2 x-4 \Rightarrow 2 \mathrm{~d} t=2 \mathrm{~d} x \Leftrightarrow \mathrm{d} t=\mathrm{d} x \end{array}\)
Đổi cận
x | 0 | 3 |
t | -2 | 1 |
\(I_{1}=\int_{-2}^{1} f(2 t) \mathrm{d} t=\int_{-2}^{1} f(2 x) \mathrm{d} x=-10\)
Vậy I=-10