Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} 1 - {x^2}\,\,\,{\rm{khi }}x \le 1\\ 2x - 2\,\,\,\,\,{\rm{khi }}x > 1 \end{array} \right.\). Tính tích phân \(\int\limits_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{4}}{f\left( 5\sin 2x-1 \right)}\cos 2x\text{d}x\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiXét \(I=\int\limits_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{4}}{f\left( 5\sin 2x-1 \right)\cos 2x\text{d}x}\)
Đặt \(5\sin 2x-1=t\)\(\Rightarrow 10\cos 2x\text{d}x=\text{d}t\Rightarrow \cos 2x\text{d}x=\frac{1}{10}\text{d}t\)
Với \(x=-\frac{\pi }{2}\)\(\Rightarrow \)\(t=-1\)
\(x=\frac{\pi }{4}\)\(\Rightarrow \)\(t=4\)
\(\Rightarrow I=\frac{1}{10}\int\limits_{-1}^{4}{f\left( t \right)\text{d}t}=\frac{1}{10}\int\limits_{-1}^{4}{f\left( x \right)\text{d}x}=\frac{1}{10}\int\limits_{-1}^{1}{f(x)\text{d}x}+\frac{1}{10}\int\limits_{1}^{4}{f(x)\text{d}x}\)
\(=\frac{1}{10}\int\limits_{-1}^{1}{\left( 1-{{x}^{2}} \right)\text{d}x}+\frac{1}{10}\int\limits_{1}^{4}{\left( 2x-2 \right)\text{d}x}=\frac{31}{30}.\)
Câu hỏi liên quan
-
\(\text { Tích phân } \int_{-1}^{1} x^{2020} d x \text { bằng }\)
-
Tính \(I = \mathop \smallint \nolimits_0^1 \frac{{2{x^3} + 7{x^2} + 3x - 1}}{{2x + 1}}dx\)
-
Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x^2} - 1}&{{\rm{ khi }}x \ge 2}\\ {{x^2} - 2x + 3}&{{\rm{ khi }}x < 2} \end{array}} \right.\). Tích phân \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f(2\sin x + 1)\cos x\;{\rm{d}}x} \) bằng:
-
Giá trị của tích phân \(I=\int_{0}^{1} \frac{d x}{1+e^{x}}\) là
-
Cho hàm số f(x) đồng biến và có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn
\(f(0)=0\) và \(f^{\prime}(x)=2 x[1+f(x)], \forall x \in \mathbb{R}\) Giá trị của \(\int_{0}^{1} 2 x f(x) d x\) bằng? -
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 2\) và \(\int\limits_0^2 {f\left( {3x + 1} \right){\rm{d}}x} = 6\). Tính \(I = \int\limits_0^7 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \)
-
Cho parabol (P): y = x2+m. Gọi (d) là tiếp tuyến với (P) qua O có hệ số góc k > 0. Xác định m để khi cho Oy quay quanh hình phẳng giới hạn bởi (P), (d) và trục Oy có thể tích bằng 6π.
-
Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=\cos 2 x\) , trục hoành và hai đường thẳng \(x=0, x=\frac{\pi}{2}\) là:
-
Tính diện tích miền hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=x^{2}-2 x, y=0, x=-10, x=10\)
-
Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} {x^3} + x + 2\,\,\,{\rm{khi }}x < 1\\ x + 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi }}x \ge 1 \end{array} \right.\). Tính tích phân \(\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{f\left( 3{{\sin }^{2}}x-1 \right)}\sin 2x\text{d}x\).
-
Cho hình phẳng (H ) giới hạn bởi các đường \(x y=4, x=0, y=1 \text { và } y=4\). Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình (H ) quanh trục tung.
-
Cho số hữu tỷ dương m thỏa mãn \(\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2 m}} x \cdot \cos m x d x=\frac{\pi-2}{2}\).Hỏi số m thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
-
Với hằng số k , tích phân nào sau đây có giá trị khác với các tích phân còn lại ?
-
Cho parabol (P) có đồ thị như hình vẽ:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) với trục hoành.
-
Tính tích phân sau \(I = \mathop \smallint \nolimits_0^1 \sqrt {1 - {x^2}} dx\)
-
Cho \(% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaa8qCaeaaca % WG4bGaamyzamaaCaaaleqabaGaaGOmaiaadIhaaaGccaqGKbGaamiE % aaWcbaGaaGimaaqaaiaaigdaa0Gaey4kIipakiabg2da9iaadggaca % WGLbWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaOGaey4kaSIaamOyaaaa!4528! \int\limits_0^1 {x{e^{2x}}{\rm{d}}x} = a{e^2} + b\); \((a,b \in Q)\). Tính a+ b
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\). Biết \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {f\left( {\tan \,x} \right)} {\rm{d}}x = 4\) và \(\int\limits_0^1 {\frac{{{x^2}f\left( x \right)}}{{{x^2} + 1}}} {\rm{d}}x = 2\). Tính \(I = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)} {\rm{d}}x\).
-
Tích phân \(\int_{a}^{b} f(x) d x\) được phân tích thành
-
Biết rằng \(\mathop \smallint \nolimits_1^2 \ln \left( {x + 1} \right)dx = a\ln 3 + b\ln 2 + c\) với a, b, c là các số nguyên. Tính S = a+b+c.
-
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn \([-\ln 2 ; \ln 2]\) và thỏa mãn \(f(x)+f(-x)=\frac{1}{e^{x}+1}\). Biết \(\int_{-\ln 2}^{\ln 2} f(x) \mathrm{d} x=a \ln 2+b \ln 3(a ; b \in \mathbb{Q}) \text { . Tính } P=a+b \text { . }\)
