Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} 1 - {x^2}\,\,\,{\rm{khi }}x \le 1\\ 2x - 2\,\,\,\,\,{\rm{khi }}x > 1 \end{array} \right.\). Tính tích phân \(\int\limits_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{4}}{f\left( 5\sin 2x-1 \right)}\cos 2x\text{d}x\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiXét \(I=\int\limits_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{4}}{f\left( 5\sin 2x-1 \right)\cos 2x\text{d}x}\)
Đặt \(5\sin 2x-1=t\)\(\Rightarrow 10\cos 2x\text{d}x=\text{d}t\Rightarrow \cos 2x\text{d}x=\frac{1}{10}\text{d}t\)
Với \(x=-\frac{\pi }{2}\)\(\Rightarrow \)\(t=-1\)
\(x=\frac{\pi }{4}\)\(\Rightarrow \)\(t=4\)
\(\Rightarrow I=\frac{1}{10}\int\limits_{-1}^{4}{f\left( t \right)\text{d}t}=\frac{1}{10}\int\limits_{-1}^{4}{f\left( x \right)\text{d}x}=\frac{1}{10}\int\limits_{-1}^{1}{f(x)\text{d}x}+\frac{1}{10}\int\limits_{1}^{4}{f(x)\text{d}x}\)
\(=\frac{1}{10}\int\limits_{-1}^{1}{\left( 1-{{x}^{2}} \right)\text{d}x}+\frac{1}{10}\int\limits_{1}^{4}{\left( 2x-2 \right)\text{d}x}=\frac{31}{30}.\)
Câu hỏi liên quan
-
Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số \(y=\sqrt{x} \text { và } y=\sqrt[3]{x}\)
-
Tích phân \(\int_{0}^{3} x(x-1) d x\) có giá trị bằng với giá trị của tích phân nào trong các tích phân dưới đây?
-
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a;b] . Mệnh đề nào dưới đây sai?
-
Tích phân: \(J = \mathop \smallint \nolimits_0^1 \frac{{xdx}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}dx\) bằng
-
Tích phân \(I=\int_{0}^{2} \frac{1}{2 \sqrt{x+2}} d x\) bằng:
-
\(\text { Nếu } \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=3 \text { và } \int_{0}^{3} f(x) \mathrm{d} x=7\)\(\text { thì } \int_{1}^{3} f(x) \mathrm{d} x \text { bằng }\)
-
Tích phân \(I=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\mathrm{d} x}{\sin ^{2} x}\) bằng?
-
Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} 2x - 1\,\,\,{\rm{khi}}\,x \ge 1\\ {x^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,x < 1 \end{array} \right.\). Tính tích phân \(\int\limits_{1}^{13}{f\left( \sqrt{x+3}-2 \right)}\text{d}x\).
-
Tính tích phân \(\mathop \smallint \nolimits_0^1 x.{e^x}dx\)
-
Tích phân \(I = \mathop \smallint \nolimits_1^2 \frac{{\ln x}}{{{x^2}}}dx\) bằng:
-
Tích phân \(\int_{0}^{1} \frac{d x}{\sqrt{3 x+1}}\) là:
-
Giả sử \(\mathop \smallint \nolimits_0^2 \frac{{x - 1}}{{{x^2} + 4x + 3}}dx = a\ln 5 + b\ln 3;\;a,b \in Q\). Tính P = ab.
-
Cho số thực a thỏa mãn \(\int_{-1}^{a} e^{x+1} d x=e^{2}-1\), khi đó a có giá trị bằng
-
Cho hàm số f (x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và các tích phân \(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} f(\tan x) \mathrm{d} x=4 \text { và } \int_{0}^{1} \frac{x^{2} f(x)}{x^{2}+1} \mathrm{d} x=2\). Tính tích phân \(I=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\)
-
Cho hình phẳng trong hình (phần tô đậm) quay quanh trục hoành. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành được tính theo công thức nào?
-
Biết \(\int_{\frac{1}{3}}^{1} \frac{x-5}{2 x+2} \mathrm{d} x=a+\ln b \text { vói } a, b\), là các số thực. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
Ta có tích phân \(I = 4\mathop \smallint \nolimits_1^e x\left( {1 + \ln x} \right)dx = a.{e^2} + b.\). Tính M = ab+4(a+b) (trong đó a,b ∈ Z)
-
Cho hàm số f (x) có đạo hàm và đồng biến trên ℝ thỏa mãn \(f(0)=1 \text { và }\left(f^{\prime}(x)\right)^{2}=e^{x} f(x), \forall x \in \mathbb{R}\) . Tính tích phân \(\int_{0}^{1} f(x) d x\) bằng?
-
Cho hàm số y =f(x) có đồ thị (C), xác định và liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn đồng thời các điều kiện \(f(x)>0 \quad \forall x \in \mathbb{R}, \quad f^{\prime}(x)=(x \cdot f(x))^{2}, \forall x \in \mathbb{R} \quad \text { và } \quad f(0)=2\). Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x =1 của đồ thị (C) là.
-
Tích phân \(I=\int_{2}^{3} \frac{a^{2} x^{2}+2 x}{a x} d x\) có giá trị nhỏ nhất khi số thực dương a có giá trị là:
