Cho hàm số f(x) liên tục trên ℝ và thỏa mãn\(f(1+2 x)+f(1-2 x)=\frac{x^{2}}{x^{2}+1}, \forall x \in \mathbb{R}\) . Tính tích phân \(I=\int_{-1}^{3} f(x) d x\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \(t=1+2 x \Rightarrow 1-2 x=2-t \text { và } x=\frac{t-1}{2}\) khi đó điều kiện trở thành
\(f(t)+f(2-t)=\frac{t^{2}-2 t+1}{t^{2}-2 t+5} \Rightarrow f(x)+f(2-x)=\frac{x^{2}-2 x+1}{x^{2}-2 x+5}\left(^{*}\right)\)
\(\begin{aligned} &\text { Tù }\left(^{*}\right), \text { ta có } f(x)+f(2-x)=\frac{x^{2}-2 x+1}{x^{2}-2 x+5}\\ &\Rightarrow \int_{-1}^{3} f(x) d x+\int_{-1}^{3} f(2-x) d x=\int_{-1}^{3} \frac{x^{2}-2 x+1}{x^{2}-2 x+5} d x\left(2^{*}\right)\\ &\text { Đặt } u=2-x \Rightarrow d u=-d x . \text { Vói } x=-1 \Rightarrow u=3 ; x=3 \Rightarrow u=-1 .\\ &\text { Suy ra } \int_{-1}^{3} f(2-x) d x=\int_{-1}^{3} f(u) d u=\int_{-1}^{3} f(x) d x, \text { thay vào }\left(^{*}\right), \text { ta được: }\\ &2 \int_{-1}^{3} f(x) d x=\int_{-1}^{3} \frac{x^{2}-2 x+1}{x^{2}-2 x+5} d x \Rightarrow \int_{-1}^{3} f(x) d x=\frac{1}{2} \int_{-1}^{3} \frac{x^{2}-2 x+1}{x^{2}-2 x+5} d x \approx 0,429=2-\frac{\pi}{2} \end{aligned}\)
