Cho hàm số f(x) liên tục trên ℝ và thỏa mãn\(f(1+2 x)+f(1-2 x)=\frac{x^{2}}{x^{2}+1}, \forall x \in \mathbb{R}\) . Tính tích phân \(I=\int_{-1}^{3} f(x) d x\)

Cho \(I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{3}} \sin ^{2} x \tan x d x=\ln a-\frac{b}{8}\) Chọn mệnh đề đúng:
 

Tính tích phân sau: \(A = \mathop \smallint \nolimits_0^{\frac{{\rm{\pi }}}{4}} \frac{{xdx}}{{{{\cos }^2}x}}\)

Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong \(y=\sqrt{2+\cos x}\), trục hoành và các đường thẳng\(x=0, x=\frac{\pi}{2}\). Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?

Tính tích phân sau \(I = \mathop \smallint \nolimits_0^1 \sqrt {1 - {x^2}} dx\)

Cho hàm số f(x) liên tục trên R và các tích phân \(\mathop \smallint \nolimits_0^{\frac{{\rm{\pi }}}{4}} f\left( {\tan \;x} \right)dx\) và\(\mathop \smallint \nolimits_0^1 \frac{{{x^2}f\left( x \right)}}{{{x^2} + 1}}dx\), tính tích phân \(\mathop \smallint \nolimits_0^1 f\left( x \right)dx\)

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa \(\int\limits_{ – 2}^2 {f\left( {\sqrt {{x^2} + 5} – x} \right){\rm{d}}x} = 1,\int\limits_1^5 {\frac{{f\left( x \right)}}{{{x^2}}}{\rm{d}}x} = 3.\) Tính \(\int\limits_1^5 {f\left( x \right){\rm{d}}x} .\)

Cho hàm số \(y=f(x)>0\) xác định, có đạo hàm trên đoạn [ 0;1] và thỏa mãn \(g(x)=1+2018 \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t \text { và } g(x)=f^{2}(x)\) . Tính \(\int_{0}^{1} \sqrt{g(x)} \mathrm{d} x\)

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {3;7} \right]\) và thỏa mãn \(f\left( x \right) = f\left( {10 – x} \right)\) với \(\forall x \in \left[ {3;7} \right]\) và \(\int\limits_3^7 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 4\). Tính \(I = \int\limits_3^7 {xf\left( x \right){\rm{d}}x} \)?

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = e^x; y = 1 và x = 1 là

Biết \(\int_{\frac{1}{3}}^{1} \frac{x-5}{2 x+2} \mathrm{d} x=a+\ln b \text { vói } a, b\), là các số thực. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

 Xét hàm số f(x) liên tục trên[-1;2] và thỏa mãn \(f(x)+2 x f\left(x^{2}-2\right)+3 f(1-x)=4 x^{3}\) . Tính giá trị của tích phân \(I=\int_{-1}^{2} f(x) d x\)
 

Tính tích phân \(I=\int_{1}^{20018} \frac{\mathrm{d} x}{x}\)

Tích phân \(I=\int\limits_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\left(x^{3}+2 x\right) \cos x+x \cos ^{2} x}{\cos x} d x\) có giá trị là:

Tích phân \(\int_{0}^{\pi} x \cos \left(x+\frac{\pi}{4}\right) d x\) có giá trị bằng
 

Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l} f\left( 0 \right) = f'\left( 0 \right) = 1\\ f\left( {x + y} \right) = f\left( x \right) + f\left( y \right) + 3xy\left( {x + y} \right) - 1 \end{array} \right.\), với \(x,y\in \mathbb{R}\). Tính \(\int\limits_{0}^{1}{f\left( x-1 \right)}\text{d}x\).

Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=1-x^{2}, y=0\) quanh  trục Ox có kết quả dạng  \(\frac{a \pi}{b}\) Khi đó a+b có kết quả là:

Tích phân \(I=\int_{1}^{2} \frac{a x-2}{\sqrt{a x^{2}-4 x}} d x=2 \sqrt{3}-1\). Giá trị nguyên của a là:

Cho hàm số \(f(x)\) xác định trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ -2;1 \right\}\) thỏa mãn \({f}'\left( x \right)=\frac{1}{{{x}^{2}}+x-2},f\left( -3 \right)-f\left( 3 \right)=0,f\left( 0 \right)=\frac{1}{3}\). Giá trị của biểu thức \(f\left( -4 \right)+f\left( 1 \right)-f\left( 4 \right)\) bằng

Cho hai hàm số liên tục f(x) và g(x) có nguyên hàm lần lượt là F(x) và G(x) trên [0; 2]. Biết F(0) = 0, F(2) = 1, G(2) = 1 và \(\mathop \smallint \nolimits_0^2 F\left( x \right)g\left( x \right)dx=3\). Tính tích phân hàm: \(\mathop \smallint \nolimits_0^2 G\left( x \right)f\left( x \right)dx\)

Có bao nhiêu số thực b thuộc khoảng \((\pi ; 3 \pi)\) sao cho \(\int_{\pi}^{b} 4 \cos 2 x d x=1 ?\)