Cho f(x) là hàm liên tục trên đoạn [0;a] thỏa mãn \(\left\{\begin{array}{c} f(x) \cdot f(a-x)=1 \\ f(x)>0, \forall x \in[0 ; a] \end{array}\right.\)và \(\int_{0}^{a} \frac{\mathrm{d} x}{1+f(x)}=\frac{b a}{c}\), trong đó b , c là hai số nguyên dương và \(\frac{b}{c}\) là phân số tối giản. Khi đó b+c có giá trị thuộc khoảng nào dưới đây?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{array}{l} \text { Cách 1. Đặt } t=a-x \Rightarrow \mathrm{d} t=-\mathrm{d} x \\ \text { Đổi cận } x=0 \Rightarrow t=a ; x=a \Rightarrow t=0 \\ \text { Lúc đó } I=\int_{0}^{a} \frac{\mathrm{d} x}{1+f(x)}=\int_{a}^{0} \frac{-\mathrm{d} t}{1+f(a-t)}=\int_{0}^{a} \frac{\mathrm{d} x}{1+f(a-x)}=\int_{0}^{a} \frac{\mathrm{d} x}{1+\frac{1}{f(x)}}=\int_{0}^{a} \frac{f(x) \mathrm{d} x}{1+f(x)} \\ \text { Suy ra } 2 I=I+I=\int_{0}^{a} \frac{\mathrm{d} x}{1+f(x)}+\int_{0}^{a} \frac{f(x) \mathrm{d} x}{1+f(x)}=\int_{0}^{a} 1 \mathrm{~d} x=a \\ \text { Do đó } I=\frac{1}{2} a \Rightarrow b=1 ; c=2 \Rightarrow b+c=3 \end{array}\)
Vậy \(b+c\in(0;9)\)
