Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} 2x - 4\,\,\,{\rm{khi}}\,x \ge 2\\ 4 - 2x\,\,\,{\rm{khi}}\,x < 2 \end{array} \right.\). Tính tích phân \(\int\limits_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}{f\left( 3-4{{\cos }^{2}}x \right)}\sin 2x\text{d}x\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiXét \(I=\int\limits_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}{f\left( 3-4{{\cos }^{2}}x \right)\sin 2x\text{d}x}\)
Đặt \(3-4{{\cos }^{2}}x=t\Rightarrow \sin 2x\text{d}x=\frac{1}{4}\text{d}t\)
Với \(x=-\frac{\pi }{4}\)\(\Rightarrow \)\(t=1\)
\(x=\frac{\pi }{2}\)\(\Rightarrow \)\(t=3\)
\(\Rightarrow I=\frac{1}{4}\int\limits_{1}^{3}{f\left( t \right)\text{d}t}=\frac{1}{4}\int\limits_{1}^{3}{f\left( x \right)\text{d}x}=\frac{1}{4}\int\limits_{1}^{2}{f(x)\text{d}x}+\frac{1}{4}\int\limits_{2}^{3}{f(x)\text{d}x}\)
\(=\frac{1}{3}\int\limits_{1}^{2}{\left( 4-2x \right)\text{d}x}+\frac{1}{3}\int\limits_{2}^{3}{\left( 2x-4 \right)\text{d}x}=\frac{2}{3}.\)
