Tìm tất cả các số hữu tỉ m dương thỏa mãn \(\mathop \smallint \nolimits_0^m \frac{{{x^2}}}{{x + 1}}dx = \ln 2 - \frac{1}{2}\)

Thể tích khối tròn xoay thu được khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=\sqrt{x} \mathrm{e}^{x}\), trục hoành và đường thẳng x=1 là:
 

F(x) là nguyên hàm của f(x) trên R thỏa \(% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaa8qCaKaaGg % aakmaalaaajaaObaGaaGymaaqaaiaadIhaaaGaamOraOWaaeWaaeaa % caWG4baacaGLOaGaayzkaaqcaaQaaeizaiaadIhaaKazbaiabaGaaG % ymaaqcbaEaaiaabwgaaKWaGkabgUIiYdGccqGH9aqpcaaIXaaaaa!4742! \int\limits_1^{\rm{e}} {\frac{1}{x}F\left( x \right){\rm{d}}x} = 1\) và F(e) = 3. Khi đó \(% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaa8qCaKaaGg % aaciGGSbGaaiOBaiaadIhacaWGMbGcdaqadaqaaiaadIhaaiaawIca % caGLPaaajaaOcaqGKbGaamiEaaqcbaEaaiaaigdaaeaacaqGLbaajm % aOcqGHRiI8aaaa!450F! \int\limits_1^{\rm{e}} {\ln xf\left( x \right){\rm{d}}x} \)

Tính tích phân \(\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{x}{\cos ^{2} x} d x=a \pi+b\). Phần nguyên của tổng a + b là ?

Cho hàm số y=f(x)  liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ bên. Hình phẳng được đánh dấu trong hình vẽ bên có diện tích là:

Xét hình phẳng (H ) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(f(x)=a \sin x+b \cos x(\text { vói } a, b\) là các hằng số thực dương), trục hoành, trục tung và đường thẳng \(x=\pi\) . Nếu vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay (H ) quanh trục Ox có thể tích bằng\(\frac{5 \pi^{2}}{2} \text { và } f^{\prime}(0)=2 \text { thì } 2 a+5 b\) bằng:

 Thể tích khối tròn xoay được giới hạn bởi các đường y = (1 − x²), y = 0, x = 0 và x = 1 khi quay quanh trục Ox bằng:

Cho hàm f(x) có đạo hàm liên tục trên [a;b] đồng thời \(f(2)=2, f(3)=5\) . Tính \(\int_{2}^{3} f^{\prime}(x) \mathrm{d} x\)

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y\; = \;{e^x}\; - \;{e^{ - x\;}}\), trục hoành, đường thẳng x = -1 và đường thẳng x = 1.

Giá trị của tích phân \(I=\int\limits_{\ln 2}^{\ln 3} \frac{e^{2 x} d x}{e^{x}-1+\sqrt{e^{x}-2}}\) là

Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị \(y=|x|\text{ và }y=x^{2}\)quay quanh trục tung tạo nên một vật thể tròn xoay có thể tích bằng

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { – 2;1} \right\}\) thỏa mãn \(f’\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2} + x – 2}}; f\left( 0 \right) = \frac{1}{3}\) và \(f\left( { – 3} \right) – f\left( 3 \right) = 0\). Tính giá trị biểu thức \(T = f\left( { – 4} \right) + f\left( { – 1} \right) – f\left( 4 \right)\).

Với hằng số k , tích phân nào sau đây có giá trị khác với các tích phân còn lại ?

Kết quả của \(\int_{0}^{4} \frac{1}{\sqrt{2 x+1}} \mathrm{d} x\) là:

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ {0;\,1} \right]\) thỏa mãn \(f\left( 1 \right) = 0, \int\limits_0^1 {{{\left[ {f’\left( x \right)} \right]}^2}{\rm{d}}x} = 7\) và \(\int\limits_0^1 {{x^2}f\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{1}{3}\). Tích phân \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \) bằng

\(\displaystyle  \int\limits_{ - \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} {\frac{{x\left( {1 + {x^2} + {x^4}} \right)}}{{1 + {x^2}}}dx} \) bằng

Cho hàm số \(y=f(x)>0\) xác định, có đạo hàm trên đoạn [0;1] và thỏa mãn:\(g(x)=1+2018 \int^{x} f(t) \mathrm{dt}, g(x)=f^{2}(x)\). Tính \(\int_{0}^{1} \sqrt{g(x)} \mathrm{d} x\)

Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

Cho tích phân \(I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1+3 \cos x} \cdot \sin x d x\) .Đặt \(u=\sqrt{3 \cos x+1}\).Khi đó I bằng

Cho hàm số \(y=f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 6 x^{2} & \text { khi } \quad x \leq 0 \\ a-a^{2} x & \text { khi } \quad x \geq 0 \end{array}\right. \text { và } I=\int_{-1}^{4} f(x) \mathrm{d} x\). Hỏi có tất cả bao nhiêu số nguyên a để \(I+22 \geq 0 ?\)

Cho số thực a thỏa mãn \(\int_{-1}^{a} e^{x+1} d x=e^{2}-1\), khi đó a có giá trị bằng