Tích phân \(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{1+\cos 2 x} \mathrm{d} x=a \pi+b \ln 2, \text { với } a, b\) là các số thực. Tính 16a-8b

Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên khoảng \((1 ;+\infty)\) và thỏa mãn \(\left(x f^{\prime}(x)-2 f(x)\right) \ln x=x^{3}-f(x), \forall x \in(1 ;+\infty)\) ; biết \(f(\sqrt[3]{e})=3 e\) . Giá trị f (2) thuộc khoảng nào dưới đây? 

Tích phân \(\int\limits_0^\pi {\left( {3x + 2} \right){{\cos }^2}x\,{\rm{d}}x} \) bằng

Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong \(y=\sqrt{2+\cos x}\), trục hoành và các đường thẳng\(x=0, x=\frac{\pi}{2}\). Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?

Tính tích phân \(I = \int\limits_0^1 {\frac{4}{{2x + 1}}{\rm{d}}x} \)

Ta có tích phân \(I = 4\mathop \smallint \nolimits_1^e x\left( {1 + \ln x} \right)dx = a.{e^2} + b.\). Tính M = ab+4(a+b) (trong đó a,b ∈ Z)

Tính tích phân \(I = \int\limits_0^1 {\frac{{{\rm{d}}x}}{{3 – 2x}}} \)

Giả sử \(\int_{2}^{3} \frac{x^{2}-3 x+2}{x^{2}-x+1} \mathrm{d} x=a \ln 7+b \ln 3+c \text { vói } a, b, c \in \mathbb{Z}\). Tính \(T=a+2 b^{2}+3 c^{3}\)

Tính tích phân sau \(\mathop \smallint \nolimits_0^1 \left( {{x^3} - 1} \right)dx\)

Cho \(\int\limits_2^5 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 10\). Kết quả \(\int\limits_5^2 {\left[ {2 – 4f\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} \) bằng

Tính tích phân \(I=\int_{0}^{3} \frac{\mathrm{d} x}{x+2}\)

Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi parabol \(y=\sqrt 3 {x^2}\) và nửa đường tròn có phương trình \(y=\sqrt {4\; - {x^2}} \) với −2 ≤ x ≤ 2 (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của (H) bằng

Tính \(I=\int_{0}^{1} \frac{d x}{1+x^{2}}\)

Cho a là một số dương lớn hơn 1. Mệnh đề nào dưới đây sai?

Biết rằng \( I = \mathop \smallint \limits_1^e \frac{{{{\ln }^2}x + \ln x}}{{{{\left( {\ln x + x + 1} \right)}^3}}}{\mkern 1mu} {\rm{d}}x = \frac{{a{e^2} + be - 12}}{{8{{(e + 2)}^2}}}\) với a, b là các số nguyên dương. Hiệu b - a bằng

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi : Đồ thị hàm số y = x³ - 4x , trục hoành, đường thẳng x = 2 và đường thẳng x = 4.

Tập hợp nghiệm của bất phương trình \(\int_{0}^{x} \frac{t}{\sqrt{t^{2}+1}} \mathrm{d} t>0(\text { ẩn } x)\) là:

Tính \(I=\int_{0}^{1} \sqrt{1-x^{2}} d x\)

 Biết \(\mathop \smallint \nolimits_0^1 \frac{{x + 2}}{{{x^2} + 4x + 7}}dx = a\ln \sqrt {12}  + b\ln \sqrt 7 \), với a, b là các số nguyên. Tổng  a + b là :

Nếu \(\int_1^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 2,\,\,\int_{ – 3}^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 1\) thì \(\int_{ – 3}^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \) bằng

Tìm giá trị của \(\text {a để } \int_{3}^{4} \frac{1}{(x-1)(x-2)} \mathrm{d} x=\ln a\)