Cho hai hàm $f(x)$ và $g(x)$ có đạo hàm trên $\left[ 1;2 \right]$ thỏa mãn $f(1)=g(1)=0$ và $\left\{ \begin{array}{l} \frac{x}{{{{(x + 1)}^2}}}g(x) + 2017x = (x + 1)f'(x)\\ \frac{{{x^3}}}{{x + 1}}g'(x) + f(x) = 2018{x^2} \end{array} \right.{\rm{, }}\forall x \in \left[ {1;2} \right].$.Tính tích phân$I=\int\limits_{1}^{2}{\left[ \frac{x}{x+1}g(x)-\frac{x+1}{x}f(x) \right]}dx$.

Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b] và c ∈ [a; b]. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau.

Cho hàm số f(x) thỏa mãn $\int_{0}^{1}(x+1) f^{\prime}(x) d x=10 \text { và } 2 f(1)-f(0)=2 . \text { Tính } I=\int_{0}^{1} f(x) d x$

Gọi S là diện tích miền hình phẳng được tô đậm trong hình vẽ bên. Công thức tính S là

Cho m thỏa mãn $\mathop \smallint \nolimits_1^2 \left[ {{m^2} + \left( {4 - 4m} \right)x\; + 4{x^3}} \right]dx\; = \;\mathop \smallint \nolimits_2^4 2xdx$. Nghiệm của phương trình ${\log _3}\;\left( {x + m} \right)\; = \;1$ là:

Tính S  hình phẳng được giới hạn bởi các đường $y\; = \;\frac{{{3^x} - 1}}{{\left( {{3^{ - x}} + 1} \right)\sqrt {{3^x} + 1} }}$; y = 0; x = 1

Cho hàm số $\begin{equation} f(x), g(x) \text { liên tục trên }[0 ; 1] \text { và } \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=-1, \int_{0}^{1} g(x) \mathrm{d} x=2 \text {. Tính } \int_{0}^{1}[2 f(x)+3 g(x)] \mathrm{d} x \end{equation}$

Khẳng định nào sau đây sai?

Cho hàm số y f x = ( ) xác định và liên tục trên $\mathbb{R} \backslash\{0\}$ thỏa mãn $x^{2} f^{2}(x)+(2 x-1) f(x)=x f^{\prime}(x)-1$ với $\forall x \in \mathbb{R} \backslash\{0\}$và $f(1)=-2$ . Tính $\int_{1}^{2} f(x) d x$

Cho $\int\limits_2^5 {\frac{{{\rm{d}}x}}{x}} = \ln a$. Tìm $a$

Thể tích của khối tròn xoay được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b quay quanh trục Ox, có công thức là:

Tích phân $I=\int_{-2}^{2}\left|\frac{x^{2}-x-2}{x-1}\right| d x$ có giá trị là

Tích phân $I=\int_{0}^{3} \frac{1}{\sqrt{x^{2}+9}} d x$ có giá trị là:

Hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=x^{2}-1, x=3 \text { và } O x$ có diện tích là

Tích phân $I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\cos x-1) \cos ^{2} x d x$ có giá trị là:

Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0;3]. Nếu $\int_{1}^{2} f(x) d x=4$ thì tích phân $\int_{1}^{2}[k x-f(x)] d x=-1$ giá trị k bằng
 

Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = \sqrt x$ và y = x quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành bằng:

Tính tích phân sau: $\mathop \smallint \nolimits_0^{\frac{{\rm{\pi }}}{2}} \sin \;3x.\cos \;xdx$

Cho hình phẳng (H ) giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x \cdot \ln x$ , trục hoành và hai đường thẳng x =1; x = 2 . Thể tích vật thể tròn xoay sinh bới (H ) khi nó quay quanh trục hoành có thể tích V được xác định bởi
 

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y=x;y=e^{x}$, trục tung và đường thẳng x =1 được tính theo công thức?

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [1;2] và thỏa mãn $f(1)=-\frac{1}{2}$ và $f(x)+x f^{\prime}(x)=\left(2 x^{3}+x^{2}\right) f^{2}(x), \forall x \in[1 ; 2]$. Giá trị của tích phân $\int_{1}^{2} x f(x) d x$ bằng