Cho hai hàm \(f(x)\) và \(g(x)\) có đạo hàm trên \(\left[ 1;2 \right]\) thỏa mãn \(f(1)=g(1)=0\) và \(\left\{ \begin{array}{l} \frac{x}{{{{(x + 1)}^2}}}g(x) + 2017x = (x + 1)f'(x)\\ \frac{{{x^3}}}{{x + 1}}g'(x) + f(x) = 2018{x^2} \end{array} \right.{\rm{, }}\forall x \in \left[ {1;2} \right].\).Tính tích phân\(I=\int\limits_{1}^{2}{\left[ \frac{x}{x+1}g(x)-\frac{x+1}{x}f(x) \right]}dx\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTừ giả thiết ta có: \(\left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{{{{(x + 1)}^2}}}g(x) - \frac{{x + 1}}{x}f'(x) = - 2017\\ \frac{x}{{x + 1}}g'(x) + \frac{1}{{{x^2}}}f(x) = 2018 \end{array} \right.{\rm{, }}\forall x \in \left[ {1;2} \right].\)
Suy ra:
\(\begin{align} & \left[ \frac{1}{{{(x+1)}^{2}}}g(x)+\frac{x}{x+1}{g}'(x) \right]-\left[ \frac{x+1}{x}{f}'(x)-\frac{1}{{{x}^{2}}}f(x) \right]=1\Leftrightarrow {{\left[ \frac{x}{x+1}g(x) \right]}^{\prime }}-{{\left[ \frac{x+1}{x}f(x) \right]}^{\prime }}=1 \\ & \Rightarrow \frac{x}{x+1}g(x)-\frac{x+1}{x}f(x)=x+C. \\ \end{align}\)
Mà \(f(1)=g(1)=0\Rightarrow C=-1\Rightarrow \)\(I=\int\limits_{1}^{2}{\left[ \frac{x}{x+1}g(x)-\frac{x+1}{x}f(x) \right]}dx=\int\limits_{1}^{2}{(x-1)dx=\frac{1}{2}}.\)
