Tính S hình phẳng được giới hạn bởi các đường \(y\; = \;\frac{{{3^x} - 1}}{{\left( {{3^{ - x}} + 1} \right)\sqrt {{3^x} + 1} }}\); y = 0; x = 1
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có: \(\frac{{{3^x} - 1}}{{\left( {{3^x} + 1} \right)\sqrt {{3^x} + 1} }}\; = \;0\; \Leftrightarrow \;{3^x}\; = \;1 \Leftrightarrow x\; = \;0\;\). Rõ ràng với mọi x ∈ [0; 1]
Do đó diện tích của hình phẳng là:
\(\mathop \smallint \nolimits_0^1 \frac{{{3^x} - 1}}{{\left( {{3^{ - x}} + 1} \right)\sqrt {{3^x} + 1} }}dx = \;\mathop \smallint \nolimits_0^1 \frac{{{3^x} - 1}}{{\left( {{3^x} + 1} \right)\sqrt {{3^x} + 1} }}.\;{3^x}dx\)
Đặt \(t=\sqrt {{3^x} + 1} \), ta có khi x = 0 thì t = , khi x = 1 thì t = 2 và 3x = t2 - 1
Suy ra 3x ln3dx = 2tdt, hay \({3^x}dx\; = \;\frac{{2tdt}}{{\ln 3}}\). Khi đó ta có
\(S = \frac{2}{{\ln 3}}\int\limits_{\sqrt 2 }^2 {\frac{{{t^2} - 2}}{{{t^3}}}dt} = \frac{2}{{\ln 3}}\int\limits_{\sqrt 2 }^2 {\left( {1 - \frac{2}{{{t^2}}}} \right)dt} = \left. {\frac{2}{{\ln 3}}\left( {t + \frac{2}{t}} \right)} \right|_{\sqrt 2 }^2 = \frac{{2\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right)}}{{\ln 3}}\)
Câu hỏi liên quan
-
Cho hình phẳng (D) giới hạn bởi các đường \(y = {\left( {x - 2} \right)^2}\) và y = 4. Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (D) khi nó quay xung quanh trục Oy
-
Cho hình (H ) giới hạn bởi các đường\(y=-x^{2}+2 x\) trục hoành. Quay hình phẳng (H ) quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là:
-
Cho tích phân \(I=\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} d x=a \pi, a \text { và } b\) là các số hữu tỉ. Giá trị của a là:
-
Xét hàm số f(x) liên tục trên [0;1] và thỏa mãn điều kiện \(4 x f\left(x^{2}\right)+3 f(x-1)=\sqrt{1-x^{2}}\) . Tích phân \(I=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\) bằng
-
Tích phân \(I=\int_{-1}^{0}\left(x^{3}+a x+2\right) d x\) có giá trị là:
-
Cho hàm số f(x) xác định trên \(\mathbb{R} \backslash\{-2 ; 1\}\) thỏa mãn \(f^{\prime}(x)=\frac{1}{x^{2}+x-2} ; f(-3)-f(3)=0 \text { và } f(0)=\frac{1}{3}\). Giá trị của biểu thức \(f(-4)+f(-1)-f(4)\) bằng ?
-
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y\; = \;{e^x}\; - \;{e^{ - x\;}}\), trục hoành, đường thẳng x = -1 và đường thẳng x = 1.
-
Cho hàm số chẵn y=f(x) liên tục trên \(\mathbb{R} \text { và } \int_{-1}^{1} \frac{f(2 x)}{1+5^{x}} \mathrm{~d} x=8\) . Giá trị của \(\int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x\) bằng:
-
Cho hàm số f(x) xác định trên \(\mathbb{R} \backslash\{-1 ; 1\}\) và thỏa mãn \(f^{\prime}(x)=\frac{2}{x^{2}-1} ; f(-2)+f(2)=0\) và \(f\left(-\frac{1}{2}\right)+f\left(\frac{1}{2}\right)=0\).Tính \(f(-2)+f(0)+f(4)=0\)
được kết quả?
-
Biết rằng \(\int_{1}^{5} \frac{3}{x^{2}+3 x} \mathrm{d} x=a \ln 5+b \ln 2(a, b \in \mathbb{Z})\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
-
Cho (H ) là hình phẳng giới hạn bởi parabol \(y=\sqrt{3} x^{2}\), cung tròn có phương trình \(y=\sqrt{4-x^{2}} \quad(\text { vói } 0 \leq x \leq 2)\) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của (H ) bằng
-
Giá trị của tích phân \(I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(\sin ^{4} x+\cos ^{4} x\right)\left(\sin ^{6} x+\cos ^{6} x\right) d x\) là
-
Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = tanx , trục hoành và hai đường thẳng \(x = \frac{{\rm{\pi }}}{6};\;x = \;\frac{{\rm{\pi }}}{4}\) là
-
Tính thể tích vật thể tròn xoay quanh trục Oy sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2, y = 4 , \(y = \frac{{{x^2}}}{2}\)
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{1}{2}} \right\}\) thỏa mãn \(f’\left( x \right) = \frac{2}{{2x – 1}}\) và \(f\left( 0 \right) = 1,\,\,f\left( 1 \right) = 2\). Giá trị của biểu thức \(f\left( { – 1} \right) + f\left( 3 \right)\) bằng
-
Biết \(\mathop \smallint \nolimits_a^b \left( {2x - 1} \right)dx\; = \;1\). Khẳng định nào sau đây đúng?
-
Tìm công thức tính thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng giới hạn bởi parabol \((P): y=x^{2}\) và đường thẳng d: y=2x quay xung quanh trục Ox .
-
Cho hàm số f(x) thỏa mãn \(f(2)=-\frac{2}{9}\)và \(f^{\prime}(x)=2 x[f(x)]^{2}, \forall x \in \mathbb{R}\) Giá trị của f(1) bằng
-
Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {2{x^3} - x}&{{\rm{ khi }}x \ge 1}\\ { - 3x + 2}&{{\rm{ khi }}x < 1} \end{array}} \right.\). Biết \(I=\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}{\frac{f\left( \tan x \right)}{{{\cos }^{2}}x}}dx+\int\limits_{0}^{\sqrt{\sqrt{e}-1}}{\frac{x.f\left( \ln \left( {{x}^{2}}+1 \right) \right)}{{{x}^{2}}+1}}dx=\frac{a}{b}\)với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Giá trị của tổng \(a+b\) bằng
-
Cho hai hàm số liên tục f(x) và g(x) có nguyên hàm lần lượt là F(x) và G(x) trên [0; 2]. Biết F(0) = 0, F(2) = 1, G(2) = 1 và \(\mathop \smallint \nolimits_0^2 F\left( x \right)g\left( x \right)dx=3\). Tính tích phân hàm: \(\mathop \smallint \nolimits_0^2 G\left( x \right)f\left( x \right)dx\)
