Tính S hình phẳng được giới hạn bởi các đường \(y\; = \;\frac{{{3^x} - 1}}{{\left( {{3^{ - x}} + 1} \right)\sqrt {{3^x} + 1} }}\); y = 0; x = 1
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có: \(\frac{{{3^x} - 1}}{{\left( {{3^x} + 1} \right)\sqrt {{3^x} + 1} }}\; = \;0\; \Leftrightarrow \;{3^x}\; = \;1 \Leftrightarrow x\; = \;0\;\). Rõ ràng với mọi x ∈ [0; 1]
Do đó diện tích của hình phẳng là:
\(\mathop \smallint \nolimits_0^1 \frac{{{3^x} - 1}}{{\left( {{3^{ - x}} + 1} \right)\sqrt {{3^x} + 1} }}dx = \;\mathop \smallint \nolimits_0^1 \frac{{{3^x} - 1}}{{\left( {{3^x} + 1} \right)\sqrt {{3^x} + 1} }}.\;{3^x}dx\)
Đặt \(t=\sqrt {{3^x} + 1} \), ta có khi x = 0 thì t = , khi x = 1 thì t = 2 và 3x = t2 - 1
Suy ra 3x ln3dx = 2tdt, hay \({3^x}dx\; = \;\frac{{2tdt}}{{\ln 3}}\). Khi đó ta có
\(S = \frac{2}{{\ln 3}}\int\limits_{\sqrt 2 }^2 {\frac{{{t^2} - 2}}{{{t^3}}}dt} = \frac{2}{{\ln 3}}\int\limits_{\sqrt 2 }^2 {\left( {1 - \frac{2}{{{t^2}}}} \right)dt} = \left. {\frac{2}{{\ln 3}}\left( {t + \frac{2}{t}} \right)} \right|_{\sqrt 2 }^2 = \frac{{2\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right)}}{{\ln 3}}\)
