Tính tích phân sau \(I = \mathop \smallint \nolimits_0^{\frac{{\rm{\pi }}}{2}} \frac{{{e^x}.\sin x}}{{1 + \sin 2x}}dx\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \(J = \mathop \smallint \nolimits_0^{\frac{{\rm{\pi }}}{2}} \frac{{{e^x}.\cos x}}{{1 + \sin 2x}}dx\)
Ta xét hệ:
\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
I + J = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{e^x}}}{{\sin x + \cos x}}dx} \\
I - J = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{e^x}\left( {\sin x - \cos x} \right)}}{{\sin x + \cos x}}dx} = \left. {\frac{{{e^x}}}{{\sin x + \cos x}}} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} - \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{{e^x}}}{{\sin x + \cos x}}dx}
\end{array} \right.\\
\Rightarrow 2I = {e^{\frac{\pi }{2}}} - 1 \Rightarrow I = \frac{1}{2}\left( {{e^{\frac{\pi }{2}}} - 1} \right)
\end{array}\)
