Tính  tích phân sau $I = \mathop \smallint \nolimits_0^{\frac{{\rm{\pi }}}{2}} \frac{{{e^x}.\sin x}}{{1 + \sin 2x}}dx$

$\begin{equation} \text { Nếu } \int_{2}^{2021} f(x) d x=12 \text { và } \int_{2020}^{2021} f(x) d x=2 \end{equation}$ $\begin{equation} \text { thì } \int_{2}^{2020} f(x) d x \text { bằng } \end{equation}$

Cho tích phân $% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamysaiabg2 % da9maapehabaWaaeWaaeaacaWG4bGaeyOeI0IaaGymaaGaayjkaiaa % wMcaaiGacohacaGGPbGaaiOBaiaaikdacaWG4bGaamizaiaadIhaaS % qaaiaaicdaaeaadaWcaaqaaiabec8aWbqaaiaaisdaaaaaniabgUIi % Ydaaaa!481B! I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {x - 1} \right)\sin 2xdx}$. Tìm đẳng thức đúng

Cho hàm số f(x) liên tục trên R và các tích phân $\mathop \smallint \nolimits_0^{\frac{{\rm{\pi }}}{4}} f\left( {\tan \;x} \right)dx$ và$\mathop \smallint \nolimits_0^1 \frac{{{x^2}f\left( x \right)}}{{{x^2} + 1}}dx$, tính tích phân $\mathop \smallint \nolimits_0^1 f\left( x \right)dx$

Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số $y=2 x^{2} \text { và } y=5 x-2$

Cho hàm số f(x) liên tục trên $\mathbb{R}$ và$f(x)+f(-x)=\cos ^{4} x$ với mọi $x\in\mathbb{R}$. Giá trị của tích phân $I=\int\limits_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f(x) d x$
 

Có bao nhiêu số thực b thuộc khoảng $(\pi ; 3 \pi)$ sao cho $\int_{\pi}^{b} 4 \cos 2 x d x=1 ?$

Tính $\displaystyle \int\limits_1^2 {({z^2} + 1)\sqrt[3]{{{{(z - 1)}^2}}}} dz$

Cho hàm số f(x)20 có đạo hàm liên tục trên đoạn [-1;3] và thỏa mãn $f(-1)=4 ; f(3)=7$ Giá trị của  $I=\int_{-1}^{3} 5 f^{\prime}(x) \mathrm{d} x$ là:

Cho hình phẳng (H ) giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số $f_{1}(x) \text { và } f_{2}(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$ và hai đường thẳng x =a, x =b (tham khảo hình vẽ dưới). Công thức tính diện tích của hình (H ) là:

Cho hàm số y=f(x) xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện $f(x)>0, \forall x \in \mathbb{R} ; f^{\prime}(x)=-e^{x} \cdot f^{2}(x), \forall x \in \mathbb{R} \text { và } f(0)=\frac{1}{2}$ . Tính giá trị của $f(\ln 2)$?

Cho $\int_{1}^{2} \frac{1}{\sqrt{x^{2}+1}} d x=\ln \frac{2+\sqrt{a}}{1+\sqrt{b}}, a\, \mathrm{và}\, b$ là các số hữu tỉ. Giá trị của $a\over b$ là:

Cho hàm số f (x) xác định trên $\mathbb{R} \backslash\{-1 ; 1\}$ và thỏa mãn $f^{\prime}(x)=\frac{1}{x^{2}-1} ; f(-3)+f(3)=0 \text { và } f\left(-\frac{1}{2}\right)+f\left(\frac{1}{2}\right)=2$. Tính giá trị biểu thức $P=f(0)+f(4)$?

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ {0;1} \right]$ và thỏa mãn $\int_0^1 {xf\left( x \right){\rm{d}}x} = 0$ và $\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;1} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = 1$.Tích phân $I = \int_0^1 {{e^x}f\left( x \right){\rm{d}}x}$ thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây?

Giả sử $I=\int_{1}^{64} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}}=a \ln \frac{2}{3}+b \text { vói } a, b$ là số nguyên. Tính giá trị a-b

Cho hàm số f(x) thỏa mãn $\mathop \smallint \nolimits_0^1 \left( {x + 1} \right)f'\left( x \right)dx\; = \;10$ và 2f(1) – f(0) = 2. Tính $\mathop \smallint \nolimits_0^1 f\left( x \right)dx$

Tích phân $\int_{a}^{b} f(x) d x$ được phân tích thành 

Cho hàm số f(x) xác định trên $\mathbb{R} \backslash\{1\}$thỏa mãn $f^{\prime}(x)=\frac{1}{x-1}, f(0)=2017, f(2)=2018$ . Tính $S=f(3)-f(-1)$

Tích phân $I=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{6}}(\sin 2 x-\cos 3 x) d x$ có giá trị là

Tích phân $I = \int\limits_1^{\rm{e}} {\frac{1}{{x + 3}}{\rm{d}}x}$ bằng:

 Xét hàm số f(x) liên tục trên[-1;2] và thỏa mãn $f(x)+2 x f\left(x^{2}-2\right)+3 f(1-x)=4 x^{3}$ . Tính giá trị của tích phân $I=\int_{-1}^{2} f(x) d x$