\(\begin{equation} \text { Nếu } \int_{2}^{2021} f(x) d x=12 \text { và } \int_{2020}^{2021} f(x) d x=2 \end{equation}\) \(\begin{equation} \text { thì } \int_{2}^{2020} f(x) d x \text { bằng } \end{equation}\)

Cho hàm số f(x) liên tục trên [ 0;1] thỏa mãn \(f(x)=6 x^{2} f\left(x^{3}\right)-\frac{6}{\sqrt{3 x+1}}\). Tính \(\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\)

Cho hàm số f liên tục trên \(\mathbb{R}\) . Nếu\(\begin{aligned} &\int_{1}^{5} 2 f(x) d x=2 \text { và } \int_{1}^{3} f(x) d x=7 \text { thì } \int_{3}^{5} f(x) d x \end{aligned}\) có giá trị
bằng:
 

Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=1-x^{2}, y=0\) quanh  trục Ox có kết quả dạng  \(\frac{a \pi}{b}\) Khi đó a+b có kết quả là:

Thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=\sqrt{x} \mathrm{e}^{x}\), trục hoành và đường thẳng x = 1 là:

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = \(\sqrt[3]{x}\), trục hoành và hai đường thẳng x =1 ; x = 8 là

Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi parabol \(y=\sqrt 3 {x^2}\) và nửa đường tròn có phương trình \(y=\sqrt {4\; - {x^2}} \) với −2 ≤ x ≤ 2 (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của (H) bằng

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên ℝ . Biết \(\int_{0}^{x^{2}} f(t) d t=e^{x^{2}}+x^{4}-1 \text { với } \forall x \in \mathbb{R}\)  với \(\forall x \in \mathbb{R}\). Giá trị của f (4) là: 

Đổi biến x  = 2sint thì tích phân \(\int_{0}^{1} \frac{d x}{\sqrt{4-x^{2}}}\)trở thành:

Tập hợp các giá trị của b sao cho \(\int\limits_0^b {(2x – 4){\rm{d}}x = 5} \) là:

 Cho hàm số f x   liên tục không âm trên \(\left[0 ; \frac{\pi}{2}\right]\) , thỏa mãn \(f(x) \cdot f^{\prime}(x)=\cos x \sqrt{1+f^{2}(x)} \text { với mọi } x \in\left[0 ; \frac{\pi}{2}\right]\) và \(f(0)=\sqrt{3}\) . Giá trị của \(f\left(\frac{\pi}{2}\right)\) bằng
 

Tính tích phân \(\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{x}{\cos ^{2} x} d x=a \pi+b\). Phần nguyên của tổng a + b là ?

Giá trị của tích phân \(\int\limits_{0}^{1}(2 x+1)^{5} d x\) là

Tích phân \(I = \mathop \smallint \nolimits_0^1 {\left( {x + 1} \right)^2}dx\) bằng

Cho \(\mathop \smallint \nolimits_1^2 f\left( x \right)dx\; = \; - 3\). Tính \(\mathop \smallint \nolimits_2^4 f\left( {\frac{x}{2}} \right)dx\)

Cho \(\int_{0}^{3} f(x) \mathrm{d} x=a, \int_{2}^{3} f(x) \mathrm{d} x=b . \text { Khi đó } \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x\) bằng?

Tích phân \(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{1+\cos 2 x} \mathrm{d} x=a \pi+b \ln 2, \text { với } a, b\) là các số thực. Tính 16a-8b

Cho hàm số (x) liên tục và nhận giá trị dương trên [0;1]. Biết \(f(x) \cdot f(1-x)=1, \forall x \in[0 ; 1]\) với. Tính giá trị \(I=\int\limits_{0}^{1} \frac{\mathrm{d} x}{1+f(x)}\)?

Tích phân \(\int\limits_1^2 {2x{\rm{d}}x} \) có giá trị là:

Hình (S) giới hạn bởi y = 3x + 2, Ox, Oy. Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình (S) quanh trục Ox.

Cho hàm số f(x) có đạo hàm và liên tục trên đoạn [4;8] và \(f(0) \neq 0 \text { với } \forall x \in[4 ; 8]\). Biết rằng \(\int_{4}^{8} \frac{\left[f^{\prime}(x)\right]^{2}}{[f(x)]^{4}} d x=1 \text { và } f(4)=\frac{1}{4}, f(8)=\frac{1}{2}\) . Tính \(f(6)\)