Xét hàm số f(x) liên tục trên[-1;2] và thỏa mãn \(f(x)+2 x f\left(x^{2}-2\right)+3 f(1-x)=4 x^{3}\) . Tính giá trị của tích phân \(I=\int_{-1}^{2} f(x) d x\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Từ } f(x)+2 x f\left(x^{2}-2\right)+3 f(1-x)=4 x^{3}\\ &\Rightarrow \int_{-1}^{2} f(x) \mathrm{d} \mathrm{x}+\int_{-1}^{2} 2 x \cdot f\left(x^{2}-2\right) \mathrm{dx}+3 \int_{-1}^{2} f(1-x) \mathrm{d} \mathrm{x}=\int_{-1}^{2} 4 x^{3} \mathrm{~d} \mathrm{x}=15 \quad(*)\\ &\text { +) Đặt } u=x^{2}-2 \Rightarrow \mathrm{du}=2 x \mathrm{dx} ; \text { với } x=-1 \Rightarrow u=-1 \text { và } x=2 \Rightarrow u=2 \text { . }\\ &\text { Khi đó } \int_{-1}^{2} 2 x \cdot f\left(x^{2}-2\right) \mathrm{d} \mathrm{x}=\int_{-1}^{2} f(u) \mathrm{du}=\int_{-1}^{2} f(x) \mathrm{dx} \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &\text { +) Đặt } t=1-x \Rightarrow \mathrm{dt}=-\mathrm{dx} ; \text { Với } x=-1 \Rightarrow t=2 \text { và } x=2 \Rightarrow t=-1 \text { . }\\ &\text { Khi đó } \int_{-1}^{2} f(1-x) \mathrm{d} \mathrm{x}=\int_{-1}^{2} f(t) \mathrm{dt}=\int_{-1}^{2} f(x) \mathrm{dx} \quad \text { (2) }\\ &\text { Thay }(1),(2) \text { vào }(*) \text { ta được: } 5 \int_{-1}^{2} f(x) \mathrm{d} \mathrm{x}=15 \Rightarrow \int_{-1}^{2} f(x) \mathrm{d} \mathrm{x}=3 . \end{aligned}\)
