Cho hàm số f (x) xác định trên \(\mathbb{R} \backslash\{-1 ; 1\}\) và thỏa mãn \(f^{\prime}(x)=\frac{1}{x^{2}-1} ; f(-3)+f(3)=0 \text { và } f\left(-\frac{1}{2}\right)+f\left(\frac{1}{2}\right)=2\). Tính giá trị biểu thức \(P=f(0)+f(4)\)?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(f^{\prime}(x)=\frac{1}{x^{2}-1} \Rightarrow \int \frac{\mathrm{d} x}{x^{2}-1}=\int \frac{\mathrm{d} x}{(x-1)(x+1)}=\left\{\begin{array}{lll} \frac{1}{2} \ln \left|\frac{x-1}{x+1}\right|+C_{1} & \text { khi } & x \in(-\infty ;-1) \cup(1 ;+\infty) \\ \frac{1}{2} \ln \left|\frac{x-1}{x+1}\right|+C_{2} & \text { khi } & x \in(-1 ; 1) \end{array}\right.\)
\(\begin{array}{l} \text { Ta có } f(-3)+f(3)=0 \Rightarrow \frac{1}{2} \ln 2+C_{1}+\frac{1}{2} \ln \frac{1}{2}+C_{1}=0 \Rightarrow C_{1}=0 \\ \text { Và } f\left(-\frac{1}{2}\right)+f\left(\frac{1}{2}\right)=2 \Rightarrow \frac{1}{2} \ln 3+C_{2}+\frac{1}{2} \ln \frac{1}{3}+C_{2}=2 \Rightarrow C_{2}=1 \end{array}\)
Suy ra \(f(x)=\left\{\begin{array}{l} \frac{1}{2} \ln \left|\frac{x-1}{x+1}\right| \quad \text { khi } \quad x \in(-\infty ;-1) \cup(1 ;+\infty) \\ \frac{1}{2} \ln \left|\frac{x-1}{x+1}\right|+1 \quad \text { khi } \quad x \in(-1 ; 1) \end{array}\right.\)
\(\Rightarrow P=f(0)+f(4)=1+\frac{1}{2} \ln \frac{3}{5}\)
Câu hỏi liên quan
-
Cho hình thang cong (H ) giới hạn bởi các đường\(y=\mathrm{e}^{x}, y=0, x=-1, x=1\) Thể tích vật thể tròn xoay được tạo ra khi cho hình (H ) quay quanh trục hoành bằng
-
Tính tích phân \(I\; = \;\mathop \smallint \nolimits_1^5 \frac{1}{{x\sqrt {3x\; + \;1} }}dx\) được kết quả I = aln3 + bln5 với a, b là các số hữu tỉ. Giá trị của a2 + ab + 3b2 là
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 2\) và \(\int\limits_0^2 {f\left( {3x + 1} \right){\rm{d}}x} = 6\). Tính \(I = \int\limits_0^7 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \)
-
Cho hàm số f(t) liên tục trên \(K\text{ và }a, b \in K, F(t)\) là một nguyên hàm của trên K . Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau
-
Tính tích phân: \(I = \mathop \smallint \nolimits_1^3 \frac{{3 + \ln x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}dx\)
-
Giá trị của tích phân \(I=\int_{e}^{e^{2}} \frac{d x}{x \ln x}\) là
-
Giá trị của a để \(\begin{equation} \int_{3}^{4} \frac{1}{(x-1)(x-2)} \mathrm{d} x=\ln a \end{equation}\) là:
-
Tính \(I = \mathop \smallint \nolimits_{ - 1}^2 2xdx\). Chọn kết quả đúng:
-
Tích phân \(f\left( x \right) = \int\limits_0^{\frac{\pi }{3}} {\cos x{\rm{d}}x} \) bằng
-
Cho \(f\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)=\left| 1+x \right|-\left| 1-x \right|\) trên tập \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(f\left( 1 \right)=3\). Tính tổng \(f\left( 0 \right)+F\left( 2 \right)+F\left( -3 \right)\).
-
Biết rằng \( I = \mathop \smallint \limits_1^e \frac{{{{\ln }^2}x + \ln x}}{{{{\left( {\ln x + x + 1} \right)}^3}}}{\mkern 1mu} {\rm{d}}x = \frac{{a{e^2} + be - 12}}{{8{{(e + 2)}^2}}}\) với a, b là các số nguyên dương. Hiệu b - a bằng
-
Tính diện tích S của hình phẳng (H ) giới hạn bởi đường cong \(y=-x^{3}+12 x \text { và } y=-x^{2}\)
-
Cho hàm số f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(\int_{1}^{16} \frac{f(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x=6 \text { và } \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) \cos x \mathrm{~d} x=3\). Tính tích phân \(I=\int_{0}^{4} f(x) \mathrm{d} x\)
-
Cho f(x);g(x) là các hàm số liên tục trên R thoả mãn \(\int_{0}^{1} f(x) d x=3\), \(\int_{0}^{2}[f(x)-3 g(x)] d x=4 \text { và } \int_{0}^{2}[2 f(x)+g(x)] d x=8\). \(\text { Tính } \int_{1}^{2} f(x) d x\)
-
Xét hàm số f(x) liên tục trên [0;2] và thỏa mãn điều kiện \(f(x)+f(2-x)=2 x\) .Tính giá trị của tích phân \(I=\int_{0}^{2} f(x) d x\)?
-
Cho hàm số (x) liên tục và nhận giá trị dương trên [0;1]. Biết \(f(x) \cdot f(1-x)=1, \forall x \in[0 ; 1]\) với. Tính giá trị \(I=\int\limits_{0}^{1} \frac{\mathrm{d} x}{1+f(x)}\)?
-
Thể tích khối tròn khi quay quanh trục hoành một hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y\; = \;\sin x\cos x,\;y\; = \;0,\;x\; = \;0,\;x\; = \;\frac{\pi }{2}\) là:
-
Cho hình phẳng như hình vẽ. Tính diện tích hình phẳng (H)
-
Cho hai hàm số liên tục f và g có nguyên hàm lần lượt là F và G trên đoạn [0;2] . Biết rằng \(F(0)=0, F(2)=1, G(0)=-2, G(2)=1 \text { và } \int_{0}^{2} F(x) g(x) d x=3\) . Tích phân \(\int_{0}^{2} f(x) G(x) d x\) có giá trị bằng?
-
Cho hai hàm số f , g liên tục trên đoạn [ a;b ] và số thực k tùy ý. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
