Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {0;1} \right]\) và thỏa mãn \(\int_0^1 {xf\left( x \right){\rm{d}}x} = 0\) và \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;1} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = 1\).Tích phân \(I = \int_0^1 {{e^x}f\left( x \right){\rm{d}}x} \) thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây?

A. \(\left( { – \infty ; – \frac{5}{4}} \right)\)

B. \(\left( {\frac{3}{2};e – 1} \right)\)

C. \(\left( {e – 1; + \infty } \right)\)

D. \(\left( { – \frac{5}{4};\frac{3}{2}} \right)\)

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án

Môn: Toán Lớp 12

Chủ đề: Nguyên Hàm - Tích Phân Và Ứng Dụng

Bài: Tích phân

Lời giải:

Báo sai

Ta có: \(0 = \int\limits_0^1 {xf\left( x \right){\rm{d}}x} = a\int\limits_0^1 {xf\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {axf\left( x \right){\rm{d}}x} ,\) với mọi \(a \in \left[ {0;1} \right]\).

Với mọi \(a \in \left[ {0;1} \right]\) ta có: \(\left| {\int_0^1 {{e^x}f\left( x \right)dx} } \right| = \left| {\int_0^1 {{e^x}f\left( x \right){\rm{d}}x – \int_0^1 {axf\left( x \right){\rm{d}}x} } } \right| = \left| {\int_0^1 {\left( {{e^x} – ax} \right)f\left( x \right){\rm{d}}x} } \right| \le \int_0^1 {\left| {{e^x} – ax} \right|.\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} \)

\( \le \int_0^1 {\left| {{e^x} – ax} \right|.\mathop {Max}\limits_{\left[ {0;1} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} = \int_0^1 {\left| {{e^x} – ax} \right|{\rm{d}}x} \).

Đặt \(I\left( a \right) = \int_0^1 {\left( {{e^x} – ax} \right)} {\rm{d}}x\).

Suy ra \(\left| {\int_0^1 {{e^x}f\left( x \right){\rm{d}}x} } \right| \le I\left( a \right),\,\,\,\,\forall a \in \left[ {0;1} \right]\Rightarrow \left| {\int_0^1 {{e^x}f\left( x \right){\rm{d}}x} } \right| \le \mathop {Min}\limits_{\left[ {0;1} \right]} I\left( a \right)\).

Mặt khác: \(I\left( a \right) = \int_0^1 {\left( {{e^x} – ax} \right)} {\rm{d}}x = \left. {\left( {{e^x} – \frac{{a{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1 = e – \frac{a}{2} – 1,\,\,\,a \in \left[ {0;1} \right]\).

\(\mathop { \Rightarrow Min}\limits_{\left[ {0;1} \right]} I\left( a \right) = e – \frac{3}{2} \Rightarrow \int_0^1 {{e^x}f\left( x \right){\rm{d}}x} \le \left| {\int_0^1 {{e^x}f\left( x \right){\rm{d}}x} } \right| \le e – \frac{3}{2} \approx 1,22\).

Vậy \(I \in \left( { – \frac{5}{4};\frac{3}{2}} \right)\) .