Tính \(\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(x+\sin ^{2} x\right) \cos x d x\) kết quả là:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có:
\(I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(x+\sin ^{2} x\right) \cos x \mathrm{d} x=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(x \cos x+\sin ^{2} x \cos x\right) \mathrm{d} x=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \cos x \mathrm{d} x+\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{2} x \cos x \mathrm{d} x=I_{1}+I_{2}\)
Tính \(I_1\text {: Đặt }\left\{\begin{array}{l} u=x \\ d v=\cos x d x \end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} \mathrm{d} u=\mathrm{d} x \\ v=\sin x \end{array}\right.\right.\)\
\(\begin{array}{l} \text { Nên } I_{1}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \cos x \mathrm{d} x =\left.(x \sin x)\right|_{0} ^{\frac{\pi}{2}}-\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \mathrm{d} x=\frac{\pi}{2}+\left.\cos x\right|_{0} ^{\frac{\pi}{2}}=\frac{\pi}{2}-1 \end{array}\)
Tính \(I_{2}: \text { Đặt } u=\sin x . \text { Ta có } \mathrm{d} u=\cos x \mathrm{d} x . \text { Đổi cận: } x=0 \Rightarrow u=0 ; x=\frac{\pi}{2} \Rightarrow u=1\)
\(I_{2}=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{2} x \cos x \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} u^{2} d u=\left.\frac{1}{3} u^{3}\right|_{0} ^{1}=\frac{1}{3} . \text { Vậy } I=I_{1}+I_{2}=\frac{\pi}{2}-\frac{2}{3}\)
