Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [-ln 2;ln2] và thõa mãn \(f(x)+f(-x)=\frac{1}{e^{x}+1}\)Biết \(\int\limits_{-\ln 2}^{\ln 2} f(x) \mathrm{d} x=a \ln 2+b \ln 3, \text { vói } a, b \in \mathbb{Q}\) . Tính giá trị của P=a+b.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Tù } f(x)+f(-x)=\frac{1}{e^{x}+1} \Rightarrow \int_{-\ln 2}^{\ln 2} f(x) \mathrm{d} x+\int_{-\ln 2}^{\ln 2} f(-x) \mathrm{d} x=\int_{-\ln 2}^{\ln 2} \frac{\mathrm{d} x}{e^{x}+1}(*)\\ &\text { Đăt } u=-x \Rightarrow \mathrm{d} u=-\mathrm{d} x\\ &\Rightarrow \int_{-\ln 2}^{\ln 2} f(-x) \mathrm{d} x=\int_{-\ln 2}^{\ln 2} f(u) \mathrm{du}=\int_{-\ln 2}^{\ln 2} f(x) \mathrm{d} x \text { thay vào }(*) \text { ta được: }\\ &2 \int_{-\ln 2}^{\ln 2} f(x) \mathrm{d} x=\int_{-\ln 2}^{\ln 2} \frac{\mathrm{d} x}{e^{x}+1} \Leftrightarrow \int_{-\ln 2}^{\ln 2} f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{2} \int_{-\ln 2}^{\ln 2} \frac{\mathrm{d} x}{e^{x}+1} \end{aligned}\)
\(\begin{array}{l} \text { Đặt } t=e^{x} \Rightarrow d t=e^{x} \mathrm{~d} x ; \text { Với } x=-\ln 2 \Rightarrow t=\frac{1}{2}, x=\ln 2 \Rightarrow t=2 \\ \Rightarrow \int\limits_{-\ln 2}^{\ln 2} \frac{\mathrm{d} x}{e^{x}+1}=\int\limits_{-\ln 2}^{\ln 2} \frac{e^{x} \mathrm{~d} x}{e^{x}\left(e^{x}+1\right)}=\int\limits_{\frac{1}{2}}^{2} \frac{\mathrm{d} t}{t(t+1)}=\ln \mid \frac{t}{t+1} \|_{\frac{1}{2}}^{2}=\ln 2 \\ \text { Khi đó: } \int_{-\ln 2}^{\ln 2} f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{2} \ln 2=a \ln 2+b \ln 3 \stackrel{a, b \in \mathbb{Q}}{\rightarrow} a=\frac{1}{2}, b=0 \Rightarrow P=a+b=\frac{1}{2} \end{array}\)
