Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f’(x) liên tục trên đoạn [0; 1] thỏa mãn f(1) = 1 và \(I = \mathop \smallint \nolimits_0^1 f\left( x \right)dx = 2\). Tính tích phân \(I = \mathop \smallint \nolimits_0^1 f'\left( {\sqrt x } \right)dx\)

Cho hàm số\(y=\pi^{x}\) có đồ thị (C). Gọi D là hình phẳng giởi hạn bởi (C), trục hoành và hai đường thẳng x = 2 , x = 3. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành được tính bởi công thức:

Tính tích phân \(I = \mathop \smallint \nolimits_0^{\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}dx\)

Biết \(I=\int\limits_{1}^{5}{\frac{2\left| x-2 \right|+1}{x}\text{d}x}=4+a\ln 2+b\ln 5\) với \(a,b\in \mathbb{Z}\). Tính \(S=a+b\)

Cho hàm số f(x)>0 có đạo hàm liên tục trên \(\left[0, \frac{\pi}{3}\right]\) , đồng thời thỏa mãn \(f^{\prime}(0)=0 ; f(0)=1 \text { và } f^{\prime \prime}(x) \cdot f(x)+\left[\frac{f(x)}{\cos x}\right]^{2}=\left[f^{\prime}(x)\right]^{2}\). Tính \(T=f\left(\frac{\pi}{3}\right)\)

Chof(x) xác định, có đạo hàm, liên tục và đồng biến trên [1;4] thỏa mãn: \(x+2 x f(x)=\left[f^{\prime}(x)\right]^{2}, \forall x \in[1 ; 4], f(1)=\frac{3}{2}\) . Giá trị f (4) bằng: 

Giá trị tích phân \(J=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(\sin ^{4} x+1\right) \cos x d x\) là

Tính tích phân \(I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin \left(\frac{\pi}{4}-x\right) \mathrm{d} x\)

Tính thể tích V của vật thể tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=\frac{1}{x}, y=0, x=1, x=a,(a>1)\) quay xung quanh trục Ox .

Biết \(I=\int_{0}^{4} \frac{1}{\sqrt{2 x+1}-5} \mathrm{d} x=a+b \ln 2 \text { vói } a, b\) là số nguyên. Giá trị của S=a+b là:

Cho hàm số f(x) liên tục trên R thỏa mãn \(2 f^{3}(x)-3 f^{2}(x)+6 f(x)=x, \forall x \in \mathbb{R}\) . Tính tích phân \(I=\int_{0}^{5} f(x) \mathrm{d} x\)

Cho \(\int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}+5 x+6} \mathrm{d} x=a \ln 2+b \ln 3+c \ln 5 \text { với } a, b, c\) là các số nguyên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l} f\left( 0 \right) = f'\left( 0 \right) = 1\\ f\left( {x + y} \right) = f\left( x \right) + f\left( y \right) + 3xy\left( {x + y} \right) - 1 \end{array} \right.\), với \(x,y\in \mathbb{R}\). Tính \(\int\limits_{0}^{1}{f\left( x-1 \right)}\text{d}x\).

Tích phân \(% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamysaiabg2 % da9maapehabaGaamiEaiaac6cacaqGLbWaaWbaaSqabeaacaaIYaGa % amiEaaaakiaabsgacaWG4baaleaacaaIWaaabaGaaGOmaaqdcqGHRi % I8aaaa!4212! I = \int\limits_0^2 {x.{{\rm{e}}^{2x}}{\rm{d}}x} \) là 

Tích phân \(I=\int_{1}^{2} \frac{a x+1}{x^{2}+3 x+2} d x=\frac{3}{5} \ln \frac{4}{3}+\frac{3}{5} \ln \frac{2}{3}\) . Giá trị của a là

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y\; = \;{e^x}\; - \;{e^{ - x\;}}\), trục hoành, đường thẳng x = -1 và đường thẳng x = 1.

Giá trị của tích phân: \(I=\int\limits_{0}^{4} \frac{x+1}{(1+\sqrt{1+2 x})^{2}} d x\) là
 

Cho \(I=\int_{0}^{\frac{x}{4}} x \tan ^{2} x d x=\frac{\pi}{a}-\ln \sqrt{b}-\frac{\pi^{2}}{32}\) khi đó tổng a +b bằng

Biết rằng \(I_{1}=\int_{0}^{1}(x+\sqrt{x+1}) d x=\frac{a}{6}+b \sqrt{2}\) . Giá trị của \(a-\frac{3}{4} b\) là

Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên [a;b] và thỏa mãn 0 < g(x) < f(x), ∀ x ∈ [a;b]. Gọi V là thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh Ox hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường: y = f(x), y = g(x), x = a; x = b. Khi đó V được tính bởi công thức nào sau đây?

Tính \(I=\int_{a}^{b} \frac{a-x^{2}}{\left(a+x^{2}\right)^{2}} \mathrm{d} x(\text { với } a, b\) là các số thực dương cho trước).