Xét hàm số f(x) liên tục trên [0;1] và thỏa mãn điều kiện \(4 x f\left(x^{2}\right)+3 f(x-1)=\sqrt{1-x^{2}}\) . Tích phân \(I=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\) bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Từ } 4 x . f\left(x^{2}\right)+3 f(x-1)=\sqrt{1-x^{2}} \Rightarrow 2 \int_{0}^{1} 2 x f\left(x^{2}\right) \mathrm{d} x+3 \int_{0}^{1} f(1-x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} \sqrt{1-x^{2}} \mathrm{~d} x(*)\\ &\text { +) Đặt } u=x^{2} \Rightarrow \mathrm{d} u=2 x \mathrm{~d} x ; \text { Với } x=0 \Rightarrow u=0 \text { và } x=1 \Rightarrow u=1 \text { . } \end{aligned}\)
\(\begin{aligned} &\text { Khi đó } \int_{0}^{1} 2 x f\left(x^{2}\right) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} f(u) \mathrm{d} u=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\\ &\text { +) Đặt } t=1-x \Rightarrow \mathrm{d} t=-\mathrm{d} x \text { ; Voi } x=0 \Rightarrow t=1 \text { và } x=1 \Rightarrow t=0 \text { . }\\ &\text { Khi đó } \int_{0}^{1} f(1-x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} f(t) \mathrm{d} t=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\\ &\text { Thay }(1),(2) \text { vào }(*) \text { ta được. }\\ &2 \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x+3 \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} \sqrt{1-x^{2}} \mathrm{~d} x \Leftrightarrow \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{5} \int_{0}^{1} \sqrt{1-x^{2}} \mathrm{~d} x=\frac{\pi}{20} \end{aligned}\)
