Cho $\int_{0}^{1} \ln (x+1) \mathrm{d} x=a+\ln b,(a, b \in \mathbb{Z}) . \operatorname{Tính}(a+3)^{b}$

Cho hình phẳng (H ) giới hạn bởi các đường$y=x^{2}, y=2 x$ . Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay (H ) xung quanh trục Ox bằng:
 

Giả sử $\mathop \smallint \nolimits_a^b f\left( x \right)dx = 2\;,\;\mathop \smallint \nolimits_c^b f\left( x \right)dx = 3\;$ và a < b < c thì $\mathop \smallint \nolimits_a^c f\left( x \right)dx$ bằng bao nhiêu ?

Tính tích phân sau: $I = \mathop \smallint \nolimits_0^1 \sqrt {1 - {x^2}} dx$

Cho hình phẳng (H ) giới hạn bởi các đường cong $y=\frac{\ln x}{\sqrt{x}}$, trục hoành và đường thẳng x = e . Khối tròn xoay tạo thành khi quay (H ) quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?
 

Cho hai số thực a và b thỏa mãn a < b và $\mathop \smallint \nolimits_a^b x\sin xdx = {\rm{\pi }}$ đồng thời a cos a = 0 và bcosb = −π.Tính tích phân $\mathop \smallint \nolimits_a^b \cos xdx$

Giá trị của tích phân $I=\int_{e}^{e^{2}} \frac{d x}{x \ln x}$ là

Giá trị của tích phân $\int_{0}^{1} \frac{4 x+2}{x^{2}+x+1}dx$ là

Tính $I = \mathop \smallint \nolimits_{ - \frac{1}{2}}^3 \frac{{xdx}}{{\sqrt[3]{{2x + 2}}}}$

Cho hàm số f(x) có đạo hàm và liên tục trên đoạn [4;8] và $f(0) \neq 0 \text { với } \forall x \in[4 ; 8]$. Biết rằng $\int_{4}^{8} \frac{\left[f^{\prime}(x)\right]^{2}}{[f(x)]^{4}} d x=1 \text { và } f(4)=\frac{1}{4}, f(8)=\frac{1}{2}$ . Tính $f(6)$

Cho hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{1}{2}x + 2}&{{\rm{ khi 0}} \le {\rm{x < 2}}}\\ { - x + 7}&{{\rm{ khi 2}} \le x < 5} \end{array}} \right.$. Biết $I=\int\limits_{1}^{{{e}^{2}}}{\frac{f\left( \ln x \right)}{x}}dx+\int\limits_{\sqrt{3}}^{2\sqrt{6}}{x.f\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)}dx=\frac{a}{b}$ với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Giá trị của hiệu $a-b$ bằng

Cho hình phẳng (H ) giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\frac{1}{x}$và các đường thẳng y = 0, x =1, x = 4 . Thể tích V của khối tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng (H ) quay quanh trục Ox .

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = $\sqrt[3]{x}$, trục hoành và hai đường thẳng x =1 ; x = 8 là

Cho hàm số f (x) liên tục trên $[0 ; 1] \text { và } f(1)-f(0)=2$. Tính $\int_{0}^{1} f^{\prime}(x) \mathrm{d} x$

Biết $% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaa8qCaeaaca % WG4bGaaeyzamaaCaaaleqabaGaaGOmaiaadIhaaaGccaWGKbGaamiE % aaWcbaGaaGimaaqaaiaaigdaa0Gaey4kIipakiabg2da9iaadggaca % qGLbWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaOGaey4kaSIaamOyaaaa!4527! \int\limits_0^1 {x{{\rm{e}}^{2x}}dx} = a{{\rm{e}}^2} + b$$; ( a,b \in Q)$. Tính P = a + b

Chof(x) xác định, có đạo hàm, liên tục và đồng biến trên [1;4] thỏa mãn: $x+2 x f(x)=\left[f^{\prime}(x)\right]^{2}, \forall x \in[1 ; 4], f(1)=\frac{3}{2}$ . Giá trị f (4) bằng: 

Tích phân $\int_{0}^{1} \frac{d x}{\sqrt{3 x+1}}$ là:

Hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y = \left| {{x^2} - 1} \right|,\;y = \left| x \right| + 5$. Diện tích của (H) bằng

Cho các số thực a, b và các mệnh đề:

$1.\mathop \smallint \nolimits_a^b f\left( x \right)dx =  - \mathop \smallint \nolimits_a^b f\left( x \right)dx$

$2.\mathop \smallint \nolimits_a^b 2f\left( x \right)dx = 2\mathop \smallint \nolimits_a^b f\left( x \right)dx$

$3.\mathop \smallint \nolimits_a^b {f^2}\left( x \right)dx = {\left[ {\mathop \smallint \nolimits_a^b f\left( x \right)dx} \right]^2}$

$4.\mathop \smallint \nolimits_a^b f\left( x \right)dx = \mathop \smallint \nolimits_a^b f\left( u \right)du$

Số mệnh đề đúng trong 4 mệnh đề trên là:

Giá trị của a để $\begin{equation} \int_{3}^{4} \frac{1}{(x-1)(x-2)} \mathrm{d} x=\ln a \end{equation}$ là:

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [1;2] và thỏa mãn $f(1)=-\frac{1}{2}$ và $f(x)+x f^{\prime}(x)=\left(2 x^{3}+x^{2}\right) f^{2}(x), \forall x \in[1 ; 2]$. Giá trị của tích phân $\int_{1}^{2} x f(x) d x$ bằng