Cho hàm số f(x) có đạo hàm và liên tục trên đoạn [4;8] và $f(0) \neq 0 \text { với } \forall x \in[4 ; 8]$. Biết rằng $\int_{4}^{8} \frac{\left[f^{\prime}(x)\right]^{2}}{[f(x)]^{4}} d x=1 \text { và } f(4)=\frac{1}{4}, f(8)=\frac{1}{2}$ . Tính $f(6)$

Tính thể tích V của vật thể tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\frac{1}{x}, y=0, x=1, x=a,(a>1)$ quay xung quanh trục Ox .

Tính S  hình phẳng được giới hạn bởi các đường $y\; = \;\frac{{{3^x} - 1}}{{\left( {{3^{ - x}} + 1} \right)\sqrt {{3^x} + 1} }}$; y = 0; x = 1

$\begin{equation} \text { Cho } \int_{-1}^{1}\left[5 f(x)+x^{2021}+x\right] \mathrm{d} x=20 \end{equation}$. $\begin{equation} \text { Tính } \int_{-1}^{1} f(x) \mathrm{d} x \text {. } \end{equation}$

Cho hàm số f(x) liên tục trên [1;2]. Gọi (D) là hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số $y=f(x), y=0, x=1 \text { và } x=2$. Công thức tính diện tích S của (D) là công thức nào trong các công thức dưới đây?

Cho hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x\left( {1 + {x^2}} \right)}&{{\rm{ }}khi{\rm{ }}x \ge 3}\\ {\frac{1}{{x - 4}}}&{{\rm{ }}khi{\rm{ }}x < 3} \end{array}} \right.$. Tích phân $\int\limits_{{{\text{e}}^{2}}}^{{{\text{e}}^{4}}}{\frac{f(\ln x)~}{x}\text{d}x}$ bằng:

Cho hàm số y f x = ( ) xác định và liên tục trên $\mathbb{R} \backslash\{0\}$ thỏa mãn $x^{2} f^{2}(x)+(2 x-1) f(x)=x f^{\prime}(x)-1$ với $\forall x \in \mathbb{R} \backslash\{0\}$và $f(1)=-2$ . Tính $\int_{1}^{2} f(x) d x$

Biết $\int\limits_{0}^{4} \frac{\sqrt{2 x+1} \mathrm{d} x}{2 x+3 \sqrt{2 x+1}+3}=a+b \ln 2+c \ln \frac{5}{3}(a, b, c \in \mathbb{Z}) . \text { Tính } T=2 a+b+c$

$\begin{equation} \text { Biết } \int_{0}^{1} f(x) d x=\frac{1}{3} \text { và } \end{equation}$ $\begin{equation} \int_{0}^{1} g(x) d x=\frac{4}{3} . \text { Khi đó } \int_{0}^{1}(g(x)-f(x)) d x \text { bằng } \end{equation}$

Biết $\mathop \smallint \nolimits_a^b \left( {2x - 1} \right)dx\; = \;1$. Khẳng định nào sau đây đúng?

Tính tích phân $I=\int_{0}^{3} \frac{\mathrm{d} x}{x+2}$

Cho hàm số f(t) liên tục trên $K\text{ và }a, b \in K, F(t)$  là một nguyên hàm của trên K . Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau

Cho hàm f(x) có đạo hàm liên tục trên [a;b] đồng thời $f(2)=2, f(3)=5$ . Tính $\int_{2}^{3} f^{\prime}(x) \mathrm{d} x$

Cho hàm số $y=f(x)>0$ xác định, có đạo hàm trên đoạn [0;1] và thỏa mãn:$g(x)=1+2018 \int^{x} f(t) \mathrm{dt}, g(x)=f^{2}(x)$. Tính $\int_{0}^{1} \sqrt{g(x)} \mathrm{d} x$

Cho $\mathop \smallint \nolimits_0^2 f\left( x \right)dx = 3$. Khi đó $\mathop \smallint \nolimits_0^2 \left[ {4f\left( x \right) - 3} \right]dx$ bằng

Cho hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {2{x^3} - x}&{{\rm{ khi }}x \ge 1}\\ { - 3x + 2}&{{\rm{ khi }}x < 1} \end{array}} \right.$. Biết $I=\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}{\frac{f\left( \tan x \right)}{{{\cos }^{2}}x}}dx+\int\limits_{0}^{\sqrt{\sqrt{e}-1}}{\frac{x.f\left( \ln \left( {{x}^{2}}+1 \right) \right)}{{{x}^{2}}+1}}dx=\frac{a}{b}$với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Giá trị của tổng $a+b$ bằng

Tích phân $I = \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}} {\frac{{{\rm{d}}x}}{{{{\sin }^2}x}}}$ bằng?

Cho hàm số y=f(x)  liên tục trên [0 ; 1] và thỏa mãn $2 f(x)+3 f(1-x)=x \sqrt{1-x}.$ . Tính giá trị của $I=\int_{0}^{1} f(x) d x$

Tính $I=\int_{a}^{b} \frac{a-x^{2}}{\left(a+x^{2}\right)^{2}} \mathrm{d} x(\text { với } a, b$ là các số thực dương cho trước).

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định và liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $2{{\left[ f(x) \right]}^{3}}+3f(x)+5=x$ với $\forall x\in \mathbb{R}$. Tính$I=\int\limits_{5}^{10}{f(x)dx}$.

Giá trị của tích phân  $I=\int\limits_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} d x$ là