Cho hàm số f(x) có đạo hàm và liên tục trên đoạn [4;8] và \(f(0) \neq 0 \text { với } \forall x \in[4 ; 8]\). Biết rằng \(\int_{4}^{8} \frac{\left[f^{\prime}(x)\right]^{2}}{[f(x)]^{4}} d x=1 \text { và } f(4)=\frac{1}{4}, f(8)=\frac{1}{2}\) . Tính \(f(6)\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiXét \(\int_{4}^{8} \frac{f^{\prime}(x)}{f^{2}(x)} d x=\int_{4}^{8} \frac{d f(x)}{f^{2}(x)}=-\left.\frac{1}{f(x)}\right|_{4} ^{8}=-\left(\frac{1}{f(8)}-\frac{1}{f(4)}\right)=-(2-4)=2 .\)
Gọi k là một hằng số thực, ta sẽ tìm k để \(\int_{4}^{8}\left(\frac{f^{\prime}(x)}{f^{2}(x)}+k\right)^{2} d x=0\)
Ta có
\(\begin{aligned} &\int_{4}^{8}\left(\frac{f^{\prime}(x)}{f^{2}(x)}+k\right)^{2} d x=\int_{4}^{8} \frac{\left[f^{\prime}(x)\right]^{2}}{[f(x)]^{4}} d x+2 k \int_{4}^{8} \frac{f^{\prime}(x)}{f^{2}(x)} d x+k^{2} \int_{4}^{8} d x=1+4 k+4 k^{2}=(2 k+1)^{2}\\ &\text { Suy }\\ &\int_{4}^{8}\left(\frac{f^{\prime}(x)}{f^{2}(x)}-\frac{1}{2}\right)^{2} d x=0 \Leftrightarrow \frac{f^{\prime}(x)}{f^{2}(x)}=\frac{1}{2} \Leftrightarrow \int_{4}^{6} \frac{f^{\prime}(x)}{f^{2}(x)} d x=\frac{1}{2} \int_{4}^{6} d x \end{aligned}\)
\(\Leftrightarrow \int_{4}^{6} \frac{d f(x)}{f^{2}(x)}=1 \Leftrightarrow-\left.\frac{1}{f(x)}\right|_{4} ^{6}=1 \Leftrightarrow \frac{1}{f(4)}-\frac{1}{f(6)}=1 \Leftrightarrow 4-\frac{1}{f(6)}=1 \Leftrightarrow f(6)=\frac{1}{3}\)
