Cho $\mathop \smallint \nolimits_0^2 f\left( x \right)dx = 3$. Khi đó $\mathop \smallint \nolimits_0^2 \left[ {4f\left( x \right) - 3} \right]dx$ bằng

Tích phân $I=\int_{0}^{1}\left(a x^{2}+b x\right) d x$ có giá trị là:

Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{array}{l} {x^4} + 2{x^2} - 1\,\,\,\,\,{\rm{khi }}x < 1\\ 3 - {x^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi }}x \ge 1 \end{array} \right.$. Tính tích phân $\int\limits_{1}^{{{e}^{4}}}{f\left( \sqrt{4-\ln x} \right)}\frac{1}{x}\text{d}x$.

Cho hàm số f (x) và g(x) liên tục, có đạo hàm trên R và thỏa mãn $f^{\prime}(0) \cdot f^{\prime}(2) \neq 0$ và $g(x) f^{\prime}(x)=x(x-2) \mathrm{e}^{x}$ . Tính giá trị của tích phân $I=\int_{0}^{2} f(x) \cdot g^{\prime}(x) \mathrm{d} x ?$

Cho hình phẳng (H ) giới hạn bởi các đường $y=x^{2} ; y=0 ; x=2$. Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay (H ) quanh trục Ox .
 

Thể tích khối tròn xoay sinh ra do quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x³, trục Ox, x = −1, x = 1 một vòng quanh trục Ox là:

Cho f(x) có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $3 f^{\prime}(x) \cdot e^{f^{3}(x)-x^{2}-1}-\frac{2 x}{f^{2}(x)}=0$. Biết $f(0)=1$ , tính tích phân $I=\int_{0}^{\sqrt{7}} x \cdot f(x) \mathrm{d} x$?

Tính $% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaam4saiabg2 % da9maapehabaGaamiEamaaCaaaleqabaGaaGOmaaaakiaadwgadaah % aaWcbeqaaiaaikdacaWG4baaaOGaaeizaiaadIhaaSqaaiaaicdaae % aacaaIXaaaniabgUIiYdaaaa!4256! K = \int\limits_0^1 {{x^2}{e^{2x}}{\rm{d}}x}$

Cho hàm số f(x) xác định trên $\mathbb{R} \backslash\left\{\frac{1}{3}\right\}$ thỏa mãn $f^{\prime}(x)=\frac{3}{3 x-1}, f(0)=1 \text { và } f\left(\frac{2}{3}\right)=2$. Giá trị của biểu thức $f(-1)+f(3)$bằng 

Biết $\mathop \smallint \nolimits_0^3 \frac{{ - x + 8}}{{{x^2} + 5x + 4}}dx = a\ln b - b\ln a$ với a, b > 0 thì ${\left( {\frac{b}{a}} \right)^2}$ bằng:

Tích phân $I=\int_{1}^{2} 2 x \cdot d x$ có giá trị là 

 Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [0;2] thỏa mãn $\mathop \smallint \nolimits_0^2 f\left( x \right)dx = 6$. Giá trị của tích phân $\mathop \smallint \nolimits_0^{\frac{{\rm{\pi }}}{2}} f\left( {2\sin \;x} \right)\cos \;xdx$ là

Tính tích phân $I = \int\limits_1^{\rm{e}} {\frac{{1 + x}}{{{x^2}}}{\rm{d}}x}$

Tính tích phân sau: $I = \mathop \smallint \nolimits_{\sqrt 3 }^{2\sqrt 2 } \frac{{\sqrt {1 + {x^2}} }}{x}dx$

Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và $\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x}=4$, $\int\limits_{0}^{3}{f\left( x \right)\text{d}x}=6$. Tính $I=\int\limits_{-1}^{1}{f\left( \left| 2x+1 \right| \right)\text{d}x}$

Tính tích phân $I = \int\limits_0^1 {(x – 2){e^{2x}}dx}$

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $f(4-x)=f(x)$. Biết $\int_{1}^{3} x f(x) \mathrm{d} x=5$. Tính $I=\int_{1}^{3} f(x) \mathrm{d} x$

Tính tích phân $\int_{0}^{\pi} \sin 3 x d x$

Cho các số thực a, b và các mệnh đề:

$1.\mathop \smallint \nolimits_a^b f\left( x \right)dx =  - \mathop \smallint \nolimits_a^b f\left( x \right)dx$

$2.\mathop \smallint \nolimits_a^b 2f\left( x \right)dx = 2\mathop \smallint \nolimits_a^b f\left( x \right)dx$

$3.\mathop \smallint \nolimits_a^b {f^2}\left( x \right)dx = {\left[ {\mathop \smallint \nolimits_a^b f\left( x \right)dx} \right]^2}$

$4.\mathop \smallint \nolimits_a^b f\left( x \right)dx = \mathop \smallint \nolimits_a^b f\left( u \right)du$

Số mệnh đề đúng trong 4 mệnh đề trên là:

Cho tích phân $I = \mathop \smallint \limits_2^3 \frac{{dx}}{{x\sqrt {{x^3} + 1} }}$. Xác định 3a+b biết $I = a\ln \left( {29 - 2\sqrt {27} } \right) + b\ln 3 + a\ln 2.$ $(a,b \in \mathbb{R})$

Cho hàm số f(x) liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $\int_{1}^{16} \frac{f(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x=6 \text { và } \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) \cos x \mathrm{~d} x=3$. Tính tích phân $I=\int_{0}^{4} f(x) \mathrm{d} x$