Cho hàm số f (x) và g(x) liên tục, có đạo hàm trên R và thỏa mãn \(f^{\prime}(0) \cdot f^{\prime}(2) \neq 0\) và \(g(x) f^{\prime}(x)=x(x-2) \mathrm{e}^{x}\) . Tính giá trị của tích phân \(I=\int_{0}^{2} f(x) \cdot g^{\prime}(x) \mathrm{d} x ?\)

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên ℝ . Biết \(f\left(x^{3}+2 x-2\right)=3 x-1\) . Giá trị của \(I=\int\limits_{1}^{10} f(x) d x\)  là: 

Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau

Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} 2{x^3} - x - 5\,\,\,{\rm{khi}}\,x \ge 2\\ 11 - x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,x < 2 \end{array} \right.\). Tính tích phân \(\int\limits_{\frac{1}{e}}^{e}{f\left( 2+\ln x \right)}\frac{1}{x}\text{d}x\).

Giả sử \(\int_{0}^{2} \frac{x-1}{x^{2}+4 x+3} \mathrm{d} x=a \ln 5+b \ln 3 ; a, b \in \mathbb{Q}\). Tính P=ab

Cho giá trị của tích phân \(I_{1}=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{3}}(\sin 2 x+\cos x) d x=a, I_{2}=\int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}(\cos 2 x+\sin x) d x=b\). Giá trị của P=a + b là:

Cho f(x) là một hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(f(x)+f(-x)=\sqrt{2-2 \cos 2 x}\) . Tính tích phân \(I=\int\limits_{-\frac{3 \pi}{2}}^{\frac{3 \pi}{2}} f(x) \mathrm{d} x\)

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=x^{2};y=x+2\) là:

Cho hình thang cong (H ) giới hạn bởi các đường\(y=\ln (x+1)\) , trục hoành và đường thẳng x=e-1. Tính thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình (H ) quanh trục Ox
 

Tích phân \(I=\int_{-1}^{1}\left|x^{3}+x^{2}-x-1\right| d x\) có giá trị là:

Biết rằng \(\int_{1}^{5} \frac{3}{x^{2}+3 x} \mathrm{d} x=a \ln 5+b \ln 2(a, b \in \mathbb{Z})\). Mệnh đề nào sau đây đúng?

Giá trị của tích phân \(I=\int_{e}^{e^{2}} \frac{d x}{x \ln x}\) là

 Biết \(\mathop \smallint \nolimits_0^1 \frac{{x + 2}}{{{x^2} + 4x + 7}}dx = a\ln \sqrt {12}  + b\ln \sqrt 7 \), với a, b là các số nguyên. Tổng  a + b là :

Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bời hai đồ thị y = x²− 4x + 6 và y = −x²−2x + 6

Biết \(\int_{0}^{1} \frac{2 x^{2}+3 x+3}{x^{2}+2 x+1} \mathrm{d} x=a-\ln b \text { vói } a, b\) là các số nguyên dương. Tính \(P=a^{2}+b^{2}\)

Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [0;2] thỏa mãn \(\int_{0}^{2} f(x) d x=6\) . Giá trị của tích phân \(\int_{0}^{\pi / 2} f(2 \sin x) \cos x d x\)  là
 

Cho \(\int\limits_0^1 {\left( {1 + 3x} \right)f’\left( x \right){\rm{d}}x} = 2019; 4f\left( 1 \right) – f\left( 0 \right) = 2020\). Tính \(\int\limits_0^{\frac{1}{3}} {f\left( {3x} \right){\rm{d}}x} \)

Tích phân \(I=\int_{-1}^{1} \frac{x}{\sqrt{x+1}-1} d x\) có giá trị là
 

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên \(\mathbb{R}\) đồng thời thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l} f\left( x \right) > 0,{\kern 1pt} \;\forall x \in R\\ f'\left( x \right) = - {e^x}{f^2}\left( x \right),{\kern 1pt} \;\forall x \in R\\ f\left( 0 \right) = \frac{1}{2} \end{array} \right..\)

Tính giá trị của \(f\left( \ln 2 \right)\).

Cho hai hàm số liên tục f và g có nguyên hàm lần lượt là F và G trên đoạn [1;2] . Biết rằng \(F(1)=1, F(2)=4, G(1)=\frac{3}{2}, G(2)=2 \text { và } \int\limits_{1}^{2} f(x) G(x) d x=\frac{67}{12}\) . Tích phân \(\int_{1}^{2} F(x) g(x) d x\) có giá trị bằng
 

Tính diện tích giới hạn bởi các đường cong y = (e+1)x; y = (e^x + 1)x