Cho hàm số f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa \(\int_{0}^{1} f(2 x) \mathrm{d} x=2 \text { và } \int_{0}^{2} f(6 x) \mathrm{d} x=14\) . Tính \(\int_{-2}^{2} f(5|x|+2) \mathrm{d} x\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{array}{l} \text { +Xét } \int_{0}^{1} f(2 x) \mathrm{d} x=2 \text { . Đặt } u=2 x \Rightarrow \mathrm{d} u=2 \mathrm{~d} x ; x=0 \Rightarrow u=0 ; x=1 \Rightarrow u=2 . \\ \text { Nên } 2=\int_{0}^{1} f(2 x) \mathrm{d} x=\frac{1}{2} \int_{0}^{2} f(u) \mathrm{d} u \Rightarrow \int_{0}^{2} f(u) \mathrm{d} u=4 \end{array}\)
\(\text { +Xét } \int_{0}^{2} f(6 x) \mathrm{d} x=14 \text { . Đặt } v=6 x \Rightarrow \mathrm{d} v=6 \mathrm{~d} x ; x=0 \Rightarrow v=0 ; x=2 \Rightarrow v=12\)
\(\text { Nên } 14=\int_{0}^{2} f(6 x) \mathrm{d} x=\frac{1}{6} \int_{0}^{12} f(v) \mathrm{d} v \Rightarrow \int_{0}^{12} f(v) \mathrm{d} v=84\)
\(\begin{array}{l} +\text { Xét } \int_{-2}^{2} f(5|x|+2) \mathrm{d} x=\int_{-2}^{0} f(5|x|+2) \mathrm{d} x+\int_{0}^{2} f(5|x|+2) \mathrm{d} x \\ \text { Tính } I_{1}=\int_{-2}^{0} f(5|x|+2) \mathrm{d} x \\ \text { Đặt } t=5|x|+2 . \text { Khi }-2<x<0, t=-5 x+2 \Rightarrow \mathrm{d} t=-5 \mathrm{~d} x ; x=-2 \Rightarrow t=12 ; x=0 \Rightarrow t=2 . \\ I_{1}=\frac{-1}{5} \int_{12}^{2} f(t) \mathrm{d} t=\frac{1}{5}\left[\int_{0}^{12} f(t) \mathrm{d} t-\int_{0}^{2} f(t) \mathrm{d} t\right]=\frac{1}{5}(84-4)=16 \end{array}\)
\(\begin{aligned} & \text { Tính } I_{1}=\int_{0}^{2} f(5|x|+2) \mathrm{d} x\\ &\text { Đặt } t=5|x|+2 \text { . Khi } 0<x<2, t=5 x+2 \Rightarrow \mathrm{d} t=5 \mathrm{~d} x ; x=2 \Rightarrow t=12 ; x=0 \Rightarrow t=2 \text { . }\\ &I_{2}=\frac{1}{5} \int_{2}^{12} f(t) \mathrm{d} t=\frac{1}{5}\left[\int_{0}^{12} f(t) \mathrm{d} t-\int_{0}^{2} f(t) \mathrm{d} t\right]=\frac{1}{5}(84-4)=16\\ &\text { Vây } \int_{-2}^{2} f(5|x|+2) \mathrm{d} x=32 \text { . } \end{aligned}\)
