Tính tích phân sau: \(A = \mathop \smallint \nolimits_0^{\frac{{\rm{\pi }}}{4}} \frac{{xdx}}{{{{\cos }^2}x}}\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = x}\\
{dv = \frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}}}
\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{du = dx}\\
{v = \tan \;x}
\end{array}} \right.} \right.\)
\(\mathop \smallint \nolimits_0^{\frac{{\rm{\pi }}}{4}} \frac{{xdx}}{{{{\cos }^2}x}} = \left( {x\;\tan x} \right)\;|_0^{\frac{{\rm{\pi }}}{4}} - \mathop \smallint \nolimits_0^{\frac{{\rm{\pi }}}{4}} \tan \;xdx\; = \frac{{\rm{\pi }}}{4} - \mathop \smallint \nolimits_0^{\frac{{\rm{\pi }}}{4}} \frac{{\sin x}}{{\cos x}}dx = \frac{{\rm{\pi }}}{4} + \left( {\ln \left| {\cos x} \right|} \right)|_0^{\frac{{\rm{\pi }}}{4}}\; = \frac{{\rm{\pi }}}{4} + \left( {\ln \frac{{\sqrt 2 }}{2} - \ln 1} \right) = \frac{{\rm{\pi }}}{4} + \ln \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
Câu hỏi liên quan
-
Giả sử F là một nguyên hàm của hàm số \(y=x^{6} \sin ^{5} x\) trên khoảng \((0 ;+\infty)\). Khi đó \(\int_{1}^{2} x^{6} \sin ^{5} x d x\) có giá trị bằng
-
Kết quả của \(\int_{0}^{4} \frac{1}{\sqrt{2 x+1}} \mathrm{d} x\) là:
-
Tìm a để diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi \((P): y=\frac{x^{2}-2 x}{x-1}\), đường thẳng \(d: y=x-1 \text { và } x=a, x=2 a(a>1)\) bằng ln3.
-
Cho \(\int_{0}^{1} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x+2}+\sqrt{x+1}}=a \sqrt{b}-\frac{8}{3} \sqrt{a}+\frac{2}{3},\left(a, b \in \mathbb{N}^{*}\right) . \text { Tính } a+2 b\)
-
Tích phân \(I=\int_{0}^{1} \frac{a}{\sqrt{3 x^{2}+12}} d x\) có giá trị là:
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {0;1} \right]\) và thỏa mãn \(\int_0^1 {xf\left( x \right){\rm{d}}x} = 0\) và \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;1} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = 1\).Tích phân \(I = \int_0^1 {{e^x}f\left( x \right){\rm{d}}x} \) thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây?
-
Cho hàm số \(f(x)=\frac{a}{x^{2}}+\frac{b}{x}+2, \text { với } a, b\) là các số hữu tỉ thỏa điều kiện \(\int_{\frac{1}{2}}^{1} f(x) \mathrm{d} x=2-3 \ln 2\).Tính T= a+b.
-
Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi parabol \(y=2-x^{2}\) và đường thẳng y=-x là
-
Cho hàm số f(x) liên tục và nhận giá trị dương trên [ 0;1] . Biết \(f(x) \cdot f(1-x)=1\) với \(\forall x \in[0 ; 1] \) . Tính giá trị của \(I=\int_{0}^{1} \frac{\mathrm{d} x}{1+f(x)}\)
-
Biết \(I=\int_{3}^{4} \frac{\mathrm{d} x}{x^{2}+x}=a \ln 2+b \ln 3+c \ln 5, \text { với } a, b, c\) là các số nguyên. Tính S=a+b+c
-
Biết \(I_{1}=\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \sin x d x=a\) . Giá trị của \(I_{2}=\int_{a}^{1} \frac{x^{2}+1}{x^{3}+x} d x=b \ln 2-c \ln 5\). Thương số của b với c là?
-
Hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số\(y=\left|x^{2}-1\right|, y=|x|+5\) . Diện tích của (H) bằng
-
\(\displaystyle \int\limits_{ - \frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} {\frac{{x\left( {1 + {x^2} + {x^4}} \right)}}{{1 + {x^2}}}dx} \) bằng
-
Giá trị của tích phân \(\int\limits_{1}^{2} \frac{d x}{(2 x-1)^{2}}\) là
-
Tính tích phân sau \(I = \mathop \smallint \nolimits_0^1 \frac{x}{{4 - {x^2}}}dx\)
-
Khẳng định nào sau đây sai?
-
Cho hình phẳng (H ) giới hạn bởi các đường \(y=\left|x^{2}-4 x+3\right|, y=x+3\) (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của (H ) bằng
-
Kết quả \(I=\int_{0}^{1} \frac{x}{x+1} d x\) là
-
Cho hàm số y=f(x) thỏa mãn \(f\left(x^{3}+3 x+1\right)=3 x+2, \forall x \in \mathbb{R}\) .Tính \(I=\int_{1}^{5} x \cdot f^{\prime}(x) d x\)
-
Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x^2} + x + 1}&{{\rm{ khi }}x \ge 0}\\ {2x - 3}&{{\rm{ khi }}x < 0} \end{array}} \right.\). Biết \(I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{f(2\sin x-1)\cos x~dx}+\int\limits_{e}^{{{e}^{2}}}{\frac{f\left( \ln x \right)}{x}dx}=\frac{a}{b}\) với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Giá trị của tích \(a+b\) bằng
