Tính tích phân sau: \(A = \mathop \smallint \nolimits_0^{\frac{{\rm{\pi }}}{4}} \frac{{xdx}}{{{{\cos }^2}x}}\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = x}\\
{dv = \frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}}}
\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{du = dx}\\
{v = \tan \;x}
\end{array}} \right.} \right.\)
\(\mathop \smallint \nolimits_0^{\frac{{\rm{\pi }}}{4}} \frac{{xdx}}{{{{\cos }^2}x}} = \left( {x\;\tan x} \right)\;|_0^{\frac{{\rm{\pi }}}{4}} - \mathop \smallint \nolimits_0^{\frac{{\rm{\pi }}}{4}} \tan \;xdx\; = \frac{{\rm{\pi }}}{4} - \mathop \smallint \nolimits_0^{\frac{{\rm{\pi }}}{4}} \frac{{\sin x}}{{\cos x}}dx = \frac{{\rm{\pi }}}{4} + \left( {\ln \left| {\cos x} \right|} \right)|_0^{\frac{{\rm{\pi }}}{4}}\; = \frac{{\rm{\pi }}}{4} + \left( {\ln \frac{{\sqrt 2 }}{2} - \ln 1} \right) = \frac{{\rm{\pi }}}{4} + \ln \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
