Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;2] thỏa mãn \(f(2)=3, \int_{0}^{2}\left[f^{\prime}(x)\right]^{2} \mathrm{~d} x=4 \text { và } \int_{0}^{2} x^{2} f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{3} . \text { Tích phân } \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x\) bằng:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có \(\int_{0}^{2} x^{2} f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{3} \Rightarrow \int_{0}^{2} 3 x^{2} f(x) \mathrm{d} x=1\)
\(\begin{array}{l}
\text { Tính: } I=\int_{0}^{2} 3 x^{2} f(x) \mathrm{d} x \\
\text { Đặt: }\left\{\begin{array}{l}
u=f(x) \\
\mathrm{d} v=3 x^{2} \mathrm{~d} x
\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}
\mathrm{d} u=f^{\prime}(x) \mathrm{d} x \\
v=x^{3}
\end{array}\right.\right. \\
\text { Ta có: } I=\int_{0}^{2} 3 x^{2} f(x) \mathrm{d} x=\left.x^{3} \cdot f(x)\right|_{0} ^{2}-\int_{0}^{2} x^{3} \cdot f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=24-\int_{0}^{2} x^{3} \cdot f^{\prime}(x) \mathrm{d} x,(\text { vì } f(2)=3)
\end{array}\)
\(\begin{aligned} &\text { Mà: } I=\int_{0}^{2} 3 x^{2} f(x) \mathrm{d} x=1 \Rightarrow 1=24-\int_{0}^{2} x^{3} \cdot f^{\prime}(x) \mathrm{d} x\\ &\Leftrightarrow \int_{0}^{2} x^{3} \cdot f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=23 \Leftrightarrow \frac{4}{23} \int_{0}^{2} x^{3} \cdot f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=4\\ &\Leftrightarrow \frac{4}{23} \int_{0}^{2} x^{3} \cdot f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{2}\left[f^{\prime}(x)\right]^{2} \mathrm{~d} x, \quad \text { (theo } \quad \text { giả } \quad \text { thiết: } \left.\quad \int_{0}^{1}\left[f^{\prime}(x)\right]^{2} \mathrm{~d} x=4\right)\\ &\Leftrightarrow \int_{0}^{2}\left[\frac{4}{23} x^{3} \cdot f^{\prime}(x)-\left[f^{\prime}(x)\right]^{2}\right] \mathrm{d} x=0 \Leftrightarrow \int_{0}^{2} f^{\prime}(x)\left[\frac{4}{23} x^{3}-f^{\prime}(x)\right] \mathrm{d} x=0\\ &\Rightarrow \frac{4}{23} x^{3}-f^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow f^{\prime}(x)=\frac{4}{23} x^{3} \Rightarrow f(x)=\frac{1}{23} x^{4}+C \end{aligned}\)
\(\begin{array}{l} \text { Với } f(2)=3 \Rightarrow 3=\frac{16}{23}+C \Rightarrow C=\frac{53}{23} . \\ \text { Khi đó: } f(x)=\frac{1}{23} x^{4}+\frac{53}{23} . \\ \text { Vậy } \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{2}\left(\frac{1}{23} x^{4}+\frac{53}{23}\right) \mathrm{d} x=\left.\left(\frac{1}{115} x^{5}+\frac{53}{23} x\right)\right|_{0} ^{2}=\frac{562}{115} . \end{array}\)
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số f(x) xác định và có đạo hàm liên tục trên khoảng \((0 ;+\infty)\) thỏa mãn f(1)=2 và \(x\left(f^{\prime}(x)-x\right)=f(x)-1, \forall x>0\). Giá trị của f(e) bằng?
-
Tính \(\displaystyle \int\limits_0^1 {{{(y - 1)}^2}\sqrt y } dy\)
-
Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} {x^4} + 2{x^2} - 1\,\,\,\,\,{\rm{khi }}x < 1\\ 3 - {x^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi }}x \ge 1 \end{array} \right.\). Tính tích phân \(\int\limits_{1}^{{{e}^{4}}}{f\left( \sqrt{4-\ln x} \right)}\frac{1}{x}\text{d}x\).
-
Cho hàm số f x liên tục không âm trên \(\left[0 ; \frac{\pi}{2}\right]\) , thỏa mãn \(f(x) \cdot f^{\prime}(x)=\cos x \sqrt{1+f^{2}(x)} \text { với mọi } x \in\left[0 ; \frac{\pi}{2}\right]\) và \(f(0)=\sqrt{3}\) . Giá trị của \(f\left(\frac{\pi}{2}\right)\) bằng
-
Giá trị của tích phân \(I=\int\limits_{0}^{1} x^{2} \sqrt{x^{3}+5} d x\) là:
-
Khẳng định nào sau đây sai?
-
Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x^2} + x + 1}&{{\rm{ khi }}x \ge 0}\\ {2x - 3}&{{\rm{ khi }}x < 0} \end{array}} \right.\). Biết \(I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{f(2\sin x-1)\cos x~dx}+\int\limits_{e}^{{{e}^{2}}}{\frac{f\left( \ln x \right)}{x}dx}=\frac{a}{b}\) với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Giá trị của tích \(a+b\) bằng
-
Cho \(\int\limits_1^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 3, \int\limits_0^2 {f\left( {5x + 2} \right){\rm{d}}x} = 3\). Khi đó \(\int\limits_1^{12} {f\left( x \right){\rm{d}}x} \) bằng
-
Cho hàm số f(x) liên tục trên R và có \(\mathop \smallint \nolimits_0^2 f\left( x \right)dx = 3\). Tính \(\mathop \smallint \nolimits_{ - 1}^1 \left| {f\left( {2x} \right)} \right|dx\)
-
Tính tích phân sau \(I = \mathop \smallint \nolimits_0^1 \frac{{2x + 9}}{{x + 3}}dx\)
-
Cho hàm số f(x) có đạo hàm và liên tục trên đoạn [4;8] và \(f(0) \neq 0 \text { với } \forall x \in[4 ; 8]\). Biết rằng \(\int_{4}^{8} \frac{\left[f^{\prime}(x)\right]^{2}}{[f(x)]^{4}} d x=1 \text { và } f(4)=\frac{1}{4}, f(8)=\frac{1}{2}\) . Tính \(f(6)\)
-
Diện tích hình phẳng trong hình vẽ sau là
-
Cho f(x) là hàm số chẵn liên tục trong đoạn \([-1 ; 1] \text { và } \int_{-1}^{1} f(x) \mathrm{d} x=2\). Kết quả \(I=\int_{-1}^{1} \frac{f(x)}{1+e^{x}} \mathrm{~d} x\) bằng?
-
Giá trị của tích phân \(I=\int_{0}^{1} \frac{d x}{1+e^{x}}\) là
-
Khi tính \(I=\int_{0}^{2} \sqrt{4-x^{2}} \mathrm{d} x\) bằng phép đặt \(x=2 \sin t\) thì được
-
Tích phân \(I=\int_{1}^{a} \frac{x^{2}+1}{x^{3}+3 x} d x=\frac{1}{3} \ln \frac{7}{2}\) . Giá trị của a là
-
Cho hàm số y=f(x) thỏa mãn \(f\left(x^{3}+3 x+1\right)=3 x+2, \forall x \in \mathbb{R}\) .Tính \(I=\int_{1}^{5} x \cdot f^{\prime}(x) d x\)
-
Tích phân \(I=\int_{1}^{2} \frac{a x+1}{x^{2}+3 x+2} d x=\frac{3}{5} \ln \frac{4}{3}+\frac{3}{5} \ln \frac{2}{3}\) . Giá trị của a là
-
Nếu \(\mathop \smallint \nolimits_2^5 f\left( x \right)dx = 3,\;\mathop \smallint \nolimits_5^7 f\left( x \right)dx = 9\) thì \(\mathop \smallint \nolimits_2^7 f\left( x \right)dx = ?\)
-
Tích phân\(\int\limits_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2 \pi}{3}} \cos \left(3 x-\frac{2 \pi}{3}\right) d x\) có giá trị là
