Tính tích phân $\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{x}{\cos ^{2} x} d x=a \pi+b$. Phần nguyên của tổng a + b là ?

Tính tích phân $I = \mathop \smallint \nolimits_0^{\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }}dx$

Tìm a để diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi $(P): y=\frac{x^{2}-2 x}{x-1}$, đường thẳng $d: y=x-1 \text { và } x=a, x=2 a(a>1)$ bằng ln3.

Cho hàm số f(x) liên tục trên Rℝ và a là số dương. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

Cho hàm số f(x), biết $f’\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\ln x}}{x}{\rm{ khi }}x{\rm{ }} > {\rm{ }}0\\4{\left( {x + 2} \right)^3}{\rm{ khi }}x \le 0\end{array} \right.$ và thoả mãn f(1) = 0, f( – 1) = 1. Tính f(e) + f(0).

Biết $\int_1^2 {\left[ {3f\left( x \right) + 2g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = 8,\,\,\int_1^2 {\left[ {4f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = 7$. Tính $\int_1^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x}$

Cho $\int\limits_2^5 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 10$. Kết quả $\int\limits_5^2 {\left[ {2 – 4f\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x}$ bằng

Giá trị của tích phân $I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin 4 x}{\sqrt{\sin ^{6} x+\cos ^{6} x}} d x$ là

Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\frac{1}{x} \ln x$, trục hoành và đường thẳng x = e bằng

Cho hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x^2} + x + 1}&{{\rm{ khi }}x \ge 0}\\ {2x - 3}&{{\rm{ khi }}x < 0} \end{array}} \right.$. Biết $I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{f(2\sin x-1)\cos x~dx}+\int\limits_{e}^{{{e}^{2}}}{\frac{f\left( \ln x \right)}{x}dx}=\frac{a}{b}$ với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Giá trị của tích $a+b$ bằng

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi ay = x₂ và ax = y₂ là:

Tích phân $I=\int_{0}^{2} \frac{1}{2 \sqrt{x+2}} d x$ bằng:

Tính $\int_{0}^{\pi} x(1+\cos x) d x$ kết quả là:

Nếu $\mathop \smallint \nolimits_1^2 f\left( x \right)dx = 2$ thì $I = \mathop \smallint \nolimits_1^2 \left[ {3f\left( x \right) - 2} \right]dx$ bằng bao nhiêu?

Cho hình phẳng (H ) giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x \cdot \ln x$ , trục hoành và hai đường thẳng x =1; x = 2 . Thể tích vật thể tròn xoay sinh bới (H ) khi nó quay quanh trục hoành có thể tích V được xác định bởi
 

Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{array}{l} 1 - {x^2}\,\,\,\,{\rm{khi}}\;x \le 3\\ 7 - 5x\,\,\,{\rm{khi}}\,\,x > 3 \end{array} \right.$. Tính tích phân $\int\limits_{0}^{\ln 2}{f\left( 3{{e}^{x}}-1 \right)}{{\text{e}}^{x}}\text{d}x$.

Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi parabol $y=\sqrt 3 {x^2}$ và nửa đường tròn có phương trình $y=\sqrt {4\; - {x^2}}$ với −2 ≤ x ≤ 2 (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của (H) bằng

Tích phân $I=\int_{1}^{2} 2 x \cdot d x$ có giá trị là 

Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[ {0;\,1} \right]$ thỏa mãn $f\left( 1 \right) = 0, \int\limits_0^1 {{{\left[ {f’\left( x \right)} \right]}^2}{\rm{d}}x} = 7$ và $\int\limits_0^1 {{x^2}f\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{1}{3}$. Tích phân $\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x}$ bằng

Cho tích phân $\int\limits_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x = 2}$. Tính tích phân $J = \int\limits_0^2 {\left[ {3f\left( x \right) – 2} \right]{\rm{d}}x}$.

Cho $\int\limits_1^2 {\left[ {4f\left( x \right) – 2x} \right]dx} = 1$. Khi đó $\int\limits_1^2 {f\left( x \right)} dx$ bằng :