Tính tích phân \(\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{x}{\cos ^{2} x} d x=a \pi+b\). Phần nguyên của tổng a + b là ?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \(\left\{\begin{array}{c} u=x \\ d v=\frac{d x}{\cos ^{2} x} \end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{c} d u=d x \\ v=\tan x=\frac{\sin x}{\cos x} \end{array}\right.\right.\)
khi đó:
\(I=\left.(x \tan x)\right|_{0} ^{\frac{\pi}{3}}-\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sin x d x}{\cos x}\)
\(=\left.(x \tan x)\right|_{0} ^{\frac{\pi}{3}}+\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{d(\cos x)}{\cos x}\Leftrightarrow I=\left.(x \tan x)\right|_{0} ^{\frac{\pi}{3}}+\left.\ln (\cos x)\right|_{0} ^{\frac{\pi}{3}}=\frac{\pi}{\sqrt{3}}-\ln 2\)
Suy ra \(a=\frac{1}{\sqrt{3}} ; b=-\ln 2\)
Khi đó: \(a+b=\frac{1}{\sqrt{3}}-\ln 2 \approx-0,1157969114\) có phân nguyên là -1
