Cho tích phân \(I = \mathop \smallint \limits_2^3 \frac{{dx}}{{x\sqrt {{x^3} + 1} }}\). Xác định 3a+b biết \(I = a\ln \left( {29 - 2\sqrt {27} } \right) + b\ln 3 + a\ln 2.\) \( (a,b \in \mathbb{R})\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \(\sqrt {{x^3} + 1} = t \Rightarrow {x^3} + 1 = {t^2} \Rightarrow 3{x^2}dx = 2tdt\)
Khi đó
\(\begin{array}{l} I = \smallint _3^{2\sqrt 7 }\frac{{2tdt}}{{3({t^2} - 1)t}} = \frac{1}{3}ln(\frac{{t - 1}}{{t + 1}})\mid _3^{2\sqrt 7 }\\ = \frac{1}{3}[ln(\frac{{2\sqrt 7 - 1}}{{2\sqrt 7 + 1}}) - ln\frac{1}{2}]\\ = \frac{1}{3}\left( {ln\frac{{29 - 2\sqrt 7 }}{{27}} + ln2} \right)\\ = \frac{1}{3}\left[ {\ln (29 - 2\sqrt 7 ) - 3\ln 3 + \ln 2} \right] = \frac{1}{3}\ln (29 - 2\sqrt 7 ) - \ln 3 + \frac{1}{3}\ln 2 \end{array}\)
Do đó \(a = \frac{1}{3},b = - 1 \Rightarrow 3a + b = 0\)