Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên tập hợp \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(\int\limits_0^{\ln 3} {f\left( {{e^x} + 3} \right){\rm{d}}x} = 1,\int\limits_4^6 {\frac{{\left( {2x – 1} \right)f\left( x \right)}}{{x – 3}}{\rm{d}}x} = – 3\). Giá trị của \(\int\limits_4^6 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \) bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \({I_1} = \int\limits_0^{\ln 3} {f\left( {{e^x} + 3} \right){\rm{d}}x} = 1\).
Đặt \({e^x} + 3 = t \Rightarrow {e^x} = t – 3 \Rightarrow {e^x}{\rm{d}}x = dt \Rightarrow {\rm{d}}x = \frac{{dt}}{{t – 3}}\)
Đổi cận: \(x = 0 \Rightarrow t = 4, x = \ln 3 \Rightarrow t = 6\).
Khi đó: \({I_1} = \int\limits_4^6 {\frac{{f\left( t \right){\rm{d}}t}}{{t – 3}}} = \int\limits_4^6 {\frac{{f\left( x \right){\rm{d}}x}}{{x – 3}}} = 1\).
Ta có \(\int\limits_4^6 {\frac{{\left( {2x – 1} \right)f\left( x \right)}}{{x – 3}}{\rm{d}}x} = \int\limits_4^6 {\frac{{\left( {2x – 6} \right)f\left( x \right) + 5f\left( x \right)}}{{x – 3}}{\rm{d}}x} = 2\int\limits_4^6 {f\left( x \right){\rm{d}}x} + 5\int\limits_4^6 {\frac{{f\left( x \right)}}{{x – 3}}{\rm{d}}x} = – 3\).
\( \Rightarrow 2\int\limits_4^6 {f\left( x \right){\rm{d}}x} + 5 = – 3 \Rightarrow \int\limits_4^6 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = – 4\).
