Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{1}{2}x + 2}&{{\rm{ khi 0}} \le {\rm{x < 2}}}\\ { - x + 7}&{{\rm{ khi 2}} \le x < 5} \end{array}} \right.\). Biết \(I=\int\limits_{1}^{{{e}^{2}}}{\frac{f\left( \ln x \right)}{x}}dx+\int\limits_{\sqrt{3}}^{2\sqrt{6}}{x.f\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)}dx=\frac{a}{b}\) với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Giá trị của hiệu \(a-b\) bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(I=\int\limits_{1}^{{{e}^{2}}}{\frac{f\left( \ln x \right)}{x}}dx+\int\limits_{\sqrt{3}}^{2\sqrt{6}}{x.f\left( \sqrt{{{x}^{2}}+1} \right)}dx={{I}_{1}}+{{I}_{2}}\)
Đặt \(t=\ln x\Rightarrow dt=\frac{1}{x}dx\). Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l} x = 1 \Rightarrow t = 0\\ x = {e^2} \Rightarrow t = 2 \end{array} \right.\).
\(\Rightarrow {{I}_{1}}=\int\limits_{0}^{2}{f\left( t \right)dt}=\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)dx}\)
Đặt \(t=\sqrt{{{x}^{2}}+1}\Rightarrow {{t}^{2}}={{x}^{2}}+1\Rightarrow 2tdt=2xdx\Rightarrow xdx=tdt\). Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l} x = \sqrt 3 \Rightarrow t = 2\\ x = 2\sqrt 6 \Rightarrow t = 5 \end{array} \right.\).
\(\Rightarrow {{I}_{2}}=\int\limits_{2}^{5}{t.f\left( t \right)dt}=\int\limits_{2}^{5}{x.f\left( x \right)dx}\)
Do \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{1}{2}x + 2}&{{\rm{ khi 0}} \le {\rm{x < 2}}}\\ { - x + 7}&{{\rm{ khi 2}} \le x < 5} \end{array}} \right.\)
\(\Rightarrow I={{I}_{1}}+{{I}_{2}}=\int\limits_{0}^{2}{\left( \frac{1}{2}x+2 \right)dx+}\int\limits_{2}^{5}{x.\left( -x+7 \right)dx=}\frac{79}{2}\Rightarrow a=79,\ b=2\).
Vậy \(a-b=77\)
Câu hỏi liên quan
-
Biết \(\int_{0}^{2} \frac{x^{2}}{x+1} \mathrm{d} x=a+\ln b(a, b \in \mathbb{Z}) . \text { Gọi } S=2 a+b\), giá trị của S thuộc khoảng nào sau đây?
-
Cho (H ) là hình phẳng giới hạn bởi parabol \(y=\sqrt{3} x^{2}\), cung tròn có phương trình \(y=\sqrt{4-x^{2}} \quad(\text { vói } 0 \leq x \leq 2)\) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của (H ) bằng
-
Thể tích khối tròn xoay sinh ra do quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x3, trục Ox, x = −1, x = 1 một vòng quanh trục Ox là:
-
Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} 2{x^3} - x - 5\,\,\,{\rm{khi}}\,x \ge 2\\ 11 - x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,x < 2 \end{array} \right.\). Tính tích phân \(\int\limits_{\frac{1}{e}}^{e}{f\left( 2+\ln x \right)}\frac{1}{x}\text{d}x\).
-
Tính tích phân \(I=\int_{1}^{2} \frac{x+1}{x} \mathrm{d} x\)
-
Xét tích phân \(I=\int_{0}^{\pi / 3} \frac{\sin 2 x}{1+\cos x} d x\) . Thực hiện phép đổi biến \(t=\cos x\), ta có thể đưa I về dạng nào sau đây?
-
\(\begin{equation} \text { Cho } \int_{-1}^{1}\left[5 f(x)+x^{2021}+x\right] \mathrm{d} x=20 \end{equation}\). \(\begin{equation} \text { Tính } \int_{-1}^{1} f(x) \mathrm{d} x \text {. } \end{equation}\)
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) là hàm số lẻ, liên tục trên \(\left[ { – 4;4} \right]\). Biết rằng \(\int_{ – 2}^0 {f\left( { – x} \right){\rm{d}}x} = 2\) và \(\int_1^2 {f\left( { – 2x} \right){\rm{d}}x} = 4\). Tính tích phân \(I = \int_0^4 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \).
-
Tích phân \(\int_{0}^{1} \frac{d x}{\sqrt{3 x+1}}\) là:
-
Cho hình phẳng (H ) giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số \(f_{1}(x) \text { và } f_{2}(x)\) liên tục trên đoạn \([a;b]\) và hai đường thẳng x =a, x =b (tham khảo hình vẽ dưới). Công thức tính diện tích của hình (H ) là:
-
Cho hàm số f(x) liên tục trên ℝ thỏa mãn \(f\left(x^{3}+1\right)=2 x-1, \forall x \in \mathbb{R}\). Tính \(I=\int_{0}^{2} f(x) d x\)
-
Thể tích của khối tròn xoay được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b quay quanh trục Ox, có công thức là:
-
Cho hàm số f(x) liên tục trên ℝ thỏa mãn \(2 f^{3}(x)-3 f^{2}(x)+6 f(x)=x, \forall x \in \mathbb{R}\)
.Tính tích phân \(I=\int\limits_{0}^{5} f(x) \mathrm{d} x\)
-
Cho hàm số y=f(x)có đạo hàm liên tục trên đoạn [1 ; 4] đồng biến trên đoạn [1 ; 4] và thỏa mãn đẳng thức \(x+2 x \cdot f(x)=\left[f^{\prime}(x)\right]^{2}, \forall x \in[1 ; 4]\). Biết rằng \(f(1)=\frac{3}{2}\) . Tính \(I=\int_{1}^{4} f(x) \mathrm{d} x ?\)
-
Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào có tích phân trên đoạn \([0 ; \pi]\) đạt giá trị bằng 0 ?
-
Diện tích hình phẳng trong hình vẽ sau là
-
Tìm a sao cho \(I=\int_{0}^{a} x \cdot \mathrm{e}^{\frac{x}{2}} d \mathrm{x}=4\), chọn đáp án đúng.
-
\(\begin{equation} \text { Nếu } \int_{1}^{2} f(x) d x=3 \end{equation}\) \(\begin{equation} \text { và } \int_{1}^{2} g(x) d x=-1 \text { thì } \int_{1}^{2}[2 f(x)+3 g(x)] d x \text { bằng } \end{equation}\)
-
Cho hàm số f liên tục trên \(\mathbb{R}\) và số thực dương a . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào luôn đúng?
-
Giá trị của tích phân \(I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{2} x \cos 2 x d x\) là
