Cho tích phân $\int_{0}^{1} \sqrt[3]{1-x} d x$ với cách đặt $t=\sqrt[3]{1-x}$ thì tích phân đã cho bằng với tích phân nào sau đây?

Giá trị của tích phân $\int_{0}^{1} \frac{4 x+2}{x^{2}+x+1}dx$ là

Cho hai hàm $f\left( x \right)$ và  $g\left( x \right)$ có đạo hàm trên $\left[ 1;4 \right]$, thỏa mãn $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {f\left( 1 \right) + g\left( 1 \right) = 4}\\ {g\left( x \right) = - xf'\left( x \right)}\\ {f\left( x \right) = - xg'\left( x \right)} \end{array}} \right.$ với mọi $x\in \left[ 1;4 \right]$ . Tính tích phân $I=\int\limits_{1}^{4}{\left[ f\left( x \right)+g\left( x \right) \right]dx}$.

Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)=x^{2}-4 x+3$, trục hoành và hai đường thẳng $x=1 ; x=3$. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành bằng

Tính $\mathrm{I}=\int_{0}^{1} \frac{2 x+9}{x+3} d x$

Cho hình phẳng (H ) giới hạn bởi các đường $y=x^{2} ; y=0 ; x=2$. Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay (H ) quanh trục Ox .
 

Tìm m để $\int\limits_{m}^{2}(3-2 x)^{4} d x=\frac{122}{5}$
 

Gọi D là miền giới hạn bởi (P): y = 2x - x² và trục hoành. Tính thể tích vật thể V do ta quay (D) xung quanh trục Oy.

Cho $\int_{0}^{1}[f(x)-2 g(x)] \mathrm{d} x=12 \text { và } \int_{0}^{1} g(x) \mathrm{d} x=5 \text {. Khi đó } \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ bằng:

Gọi S là diện tích miền hình phẳng được tô đậm trong hình vẽ bên. Công thức tính S là

Cho hình phẳng (H ) giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x \cdot \ln x$ , trục hoành và hai đường thẳng x =1; x = 2 . Thể tích vật thể tròn xoay sinh bới (H ) khi nó quay quanh trục hoành có thể tích V được xác định bởi
 

Tích phân $I = \mathop \smallint \nolimits_0^{\frac{{\rm{\pi }}}{6}} {\sin ^3}x.\cos \;xdx$ bằng:

Cho f(x);g(x) là các hàm số liên tục trên R thoả mãn $\int_{0}^{1} f(x) d x=3$, $\int_{0}^{2}[f(x)-3 g(x)] d x=4 \text { và } \int_{0}^{2}[2 f(x)+g(x)] d x=8$. $\text { Tính } \int_{1}^{2} f(x) d x$

Hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y=x^{2}+x-2, y=x+2$và hai đường thẳng $x=-2 ; x=3$. Diện tích của (H) bằng

Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (H): $y=\frac{x-1}{x+1}$ và các trục tọa độ. Khi đó giá trị của S bằng

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y = 1, y = x và đồ thị hàm số $y\; = \;\frac{{{x^2}}}{4}$ trong miền x ≥ 0, y ≤ 1 là a/b. Khi đó b - a bằng

Cho hai số thực , tùy ý, là một nguyên hàm của hàm số trên tập $\mathbb{R}$ . Mệnhđề nào dưới đây là đúng?

Trong những phát biểu sau, phát biểu nào là sai?

Có bao nhiêu số thực b thuộc khoảng $(\pi ; 3 \pi)$ sao cho $\int_{\pi}^{b} 4 \cos 2 x d x=1 ?$

Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và $\int\limits_0^2 {\left( {f\left( x \right) + 2x} \right){\rm{d}}x} = 5$. Tính $\int\limits_0^2 {f(x){\rm{d}}x}$

Tích phân $I=\int\limits_{0}^{\sqrt[3]{7}} \frac{3 x^{5}}{\sqrt[3]{8-x^{3}}} d x$ có giá trị là: