Xét hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn điều kiện \(f\left( 1 \right)=1\) và \(f\left( 2 \right)=4\). Tính \(J=\int\limits_{1}^{2}{\left( \frac{{f}'\left( x \right)+2}{x}-\frac{f\left( x \right)+1}{{{x}^{2}}} \right)\text{d}x}\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có \(J=\int\limits_{1}^{2}{\left( \frac{{f}'\left( x \right)+2}{x}-\frac{f\left( x \right)+1}{{{x}^{2}}} \right)\text{d}x} =\int\limits_{1}^{2}{\frac{{f}'\left( x \right)}{x}\text{d}x-\int\limits_{1}^{2}{\frac{f\left( x \right)}{{{x}^{2}}}\text{d}x}}+\int\limits_{1}^{2}{\left( \frac{2}{x}-\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)\text{d}x}\).
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l} u = \frac{1}{x}\\ {\rm{d}}v = f'\left( x \right){\rm{d}}x \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\rm{d}}u = - \frac{1}{{{x^2}}}{\rm{d}}x\\ v = f\left( x \right) \end{array} \right.\)
\(J=\int\limits_{1}^{2}{\left( \frac{{f}'\left( x \right)+2}{x}-\frac{f\left( x \right)+1}{{{x}^{2}}} \right)\text{d}x} =\left. \frac{1}{x}.f\left( x \right) \right|_{1}^{2}+\int\limits_{1}^{2}{\frac{f\left( x \right)}{{{x}^{2}}}\text{d}x}-\int\limits_{1}^{2}{\frac{f\left( x \right)}{{{x}^{2}}}\text{d}x}+\int\limits_{1}^{2}{\left( \frac{2}{x}-\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)\text{d}x}\)
\(=\frac{1}{2}f\left( 2 \right)-f\left( 1 \right)+\left. \left( 2\ln x+\frac{1}{x} \right) \right|_{1}^{2}=\frac{1}{2}+\ln 4\).
