Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình tròn \(\text { (C ) }:(x+2)^{2}+(y-3)^{2} \leq 1\) quanh trục Ox.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTịnh tiến (C) theo \(\vec v=(2;0)\) ta được hình tròn \(\left(C^{\prime}\right): x^{2}+(y-3)^{2} \leq 1\)
Xét \(x^{2}+(y-3)^{2}=1 \Rightarrow y=3 \pm \sqrt{1-x^{2}}\)
Khi đó thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quanh (C′) quanh trục Ox là:
\(V=\pi \int\limits_{-1}^{1}\left[(3+\sqrt{1-x^{2}})^{2}-(3-\sqrt{1-x^{2}})^{2}\right] \mathrm{d} x=4 \pi \int\limits_{-1}^{1} \sqrt{1-x^{2}} \mathrm{d} x\)
\(\text { Đăt } x=\sin t \Rightarrow d x=\cos t \mathrm{d} t\)
Đỏi cận \(x=-1 \Rightarrow t=-\frac{\pi}{2}, x=1 \Rightarrow t=\frac{\pi}{2}\)
\(\begin{array}{l} V=12 \pi \int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-\sin ^{2} t} \cos t \mathrm{d} t=12 \pi \int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{2} t \mathrm{d} t=12 \pi \int\limits_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \cos 2 t\right) \mathrm{d} t \\ =\left.12 \pi \cdot\left(\frac{1}{2} t+\frac{1}{4} \sin 2 t\right)\right|_{-\frac{\pi}{2}} ^{\frac{\pi}{2}}=6 \pi \end{array}\)
