Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ -2;1 \right\}$ thỏa mãn ${f}'\left( x \right)=\frac{1}{{{x}^{2}}+x-2},f\left( -3 \right)-f\left( 3 \right)=0,f\left( 0 \right)=\frac{1}{3}$. Giá trị của biểu thức $f\left( -4 \right)+f\left( 1 \right)-f\left( 4 \right)$ bằng

Tính: $\displaystyle  \int\limits_1^e {\frac{{\sqrt {4 + 5\ln x} }}{x}} dx$

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong $y=x \ln x$, trục hoành và đường thẳng x=e là

Tính diện tích S của miền hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $f(x)=a x^{3}+b x^{2}+c$ , các đường thẳng x =1, x = 2 và trục hoành (miền gạch chéo) cho trong hình dưới đây.

Giá trị của tích phân: $I=\int\limits_{0}^{4} \frac{x+1}{(1+\sqrt{1+2 x})^{2}} d x$ là
 

Tích phân $\int\limits_0^2 {\frac{2}{{2x + 1}}} {\rm{d}}x$ bằng.

Tích phân $I=\int_{-1}^{1}\left(x^{3}+3 x+2\right) d x$ có giá trị là:

F(x) là nguyên hàm của f(x) trên R thỏa $% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaa8qCaKaaGg % aakmaalaaajaaObaGaaGymaaqaaiaadIhaaaGaamOraOWaaeWaaeaa % caWG4baacaGLOaGaayzkaaqcaaQaaeizaiaadIhaaKazbaiabaGaaG % ymaaqcbaEaaiaabwgaaKWaGkabgUIiYdGccqGH9aqpcaaIXaaaaa!4742! \int\limits_1^{\rm{e}} {\frac{1}{x}F\left( x \right){\rm{d}}x} = 1$ và F(e) = 3. Khi đó $% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaa8qCaKaaGg % aaciGGSbGaaiOBaiaadIhacaWGMbGcdaqadaqaaiaadIhaaiaawIca % caGLPaaajaaOcaqGKbGaamiEaaqcbaEaaiaaigdaaeaacaqGLbaajm % aOcqGHRiI8aaaa!450F! \int\limits_1^{\rm{e}} {\ln xf\left( x \right){\rm{d}}x}$

Cho giá trị của tích phân $a=2, b=-3 ,I_{1}=\int_{1}^{2} \frac{x^{2}+2 x}{x+1} d x=a, I_{2}=\int_{e}^{e^{2}} \frac{1}{x} d x=b$ Giá trị của biểu thức là P=a-b là:

Cho đồ thị hàm số y = f(x). Diện tích hình phẳng ( phần gạch sọc ) là: 

Cho hàm số y = f( x) = ax⁴+ bx²+ c (a > 0) có đồ thị (C), đồ thị hàm số y = f’(x). Đồ thị hàm số y = f( x) tiếp xúc với trục hoành tại hai điểm. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành?

Cho hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {2{x^3} - x}&{{\rm{ khi }}x \ge 1}\\ { - 3x + 2}&{{\rm{ khi }}x < 1} \end{array}} \right.$. Biết $I=\int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}{\frac{f\left( \tan x \right)}{{{\cos }^{2}}x}}dx+\int\limits_{0}^{\sqrt{\sqrt{e}-1}}{\frac{x.f\left( \ln \left( {{x}^{2}}+1 \right) \right)}{{{x}^{2}}+1}}dx=\frac{a}{b}$với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Giá trị của tổng $a+b$ bằng

Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

Biết $I=\int_{3}^{4} \frac{\mathrm{d} x}{x^{2}+x}=a \ln 2+b \ln 3+c \ln 5, \text { với } a, b, c$ là các số nguyên. Tính S=a+b+c

Cho hình phẳng (H ) giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số $f_{1}(x) \text { và } f_{2}(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$ và hai đường thẳng x =a, x =b (tham khảo hình vẽ dưới). Công thức tính diện tích của hình (H ) là:

Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{array}{l} 1 - {x^2}\,\,\,{\rm{khi }}x \le 1\\ 2x - 2\,\,\,\,\,{\rm{khi }}x > 1 \end{array} \right.$. Tính tích phân $\int\limits_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{4}}{f\left( 5\sin 2x-1 \right)}\cos 2x\text{d}x$.

Giá trị của tích phân $I=\int_{0}^{1} \frac{x}{x+1} d x=a$ . Biểu thức P=2a-1 có giá trị là

Cho hàm số f(x) liên tục và nhận giá trị dương trên [ 0;1] . Biết $f(x) \cdot f(1-x)=1$ với $\forall x \in[0 ; 1]$ . Tính giá trị của $I=\int_{0}^{1} \frac{\mathrm{d} x}{1+f(x)}$

Tính tích phân sau $I = \mathop \smallint \nolimits_0^1 \frac{x}{{4 - {x^2}}}dx$

Kết quả $I=\int_{0}^{1} \frac{x}{x+1} d x$ là 

Khẳng định nào sau đây sai?