Cho hàm số \(f(x)\) xác định trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ -2;1 \right\}\) thỏa mãn \({f}'\left( x \right)=\frac{1}{{{x}^{2}}+x-2},f\left( -3 \right)-f\left( 3 \right)=0,f\left( 0 \right)=\frac{1}{3}\). Giá trị của biểu thức \(f\left( -4 \right)+f\left( 1 \right)-f\left( 4 \right)\) bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có: \({f}'\left( x \right)=\frac{1}{{{x}^{2}}+x-2}=\frac{1}{3}\left( \frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+2} \right)\)
\(f\left( x \right) = \frac{1}{3}\int {\left( {\frac{1}{{x - 1}} - \frac{1}{{x + 2}}} \right)dx = } \frac{1}{3}\ln \left| {\frac{{x - 1}}{{x + 2}}} \right| + C = \left\{ \begin{array}{l} \frac{1}{3}\left[ {\ln \left( {1 - x} \right) - \ln \left( { - x - 2} \right)} \right] + {C_1};\,\,\,x \in \left( { - \infty ; - 2} \right)\\ \frac{1}{3}\left[ {\ln \left( {1 - x} \right) - \ln \left( {x + 2} \right)} \right] + {C_2};\,\,\,x \in \left( { - 2;1} \right)\\ \frac{1}{3}\left[ {\ln \left( {x - 1} \right) - \ln \left( {x + 2} \right)} \right] + {C_3};\,\,\,x \in \left( {1; + \infty } \right) \end{array} \right.\)
Với \(f\left( 0 \right)=\frac{1}{3}\Rightarrow \frac{1}{3}\left[ \ln \left( 1-0 \right)-\ln \left( 0+2 \right) \right]+{{C}_{2}}=\frac{1}{3}\Rightarrow {{C}_{2}}=\frac{1}{3}\ln 2+\frac{1}{3}\)
Với \(f\left( -3 \right)-f\left( 3 \right)=0\Rightarrow {{C}_{1}}-{{C}_{3}}=\frac{1}{3}\ln \frac{1}{10}\)
Nên \(f\left( -4 \right)+f\left( 1 \right)-f\left( 4 \right)=\frac{1}{3}\ln \frac{5}{2}+\frac{1}{3}\ln 2-\frac{1}{3}\ln \frac{1}{2}+{{C}_{2}}+{{C}_{1}}-{{C}_{3}}=\frac{1}{3}\ln 2+\frac{1}{3}\).
