Tích phân \(I=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{1+\cos x} d x\) có giá trị là:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có: \(I=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{1+\cos x} d x=\frac{1}{2} I \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{\cos ^{2} \frac{x}{2}} d x\)
Đặt \(\left\{\begin{array}{l} u=x \\ d v=\cos ^{2} \frac{x}{2} d x \end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} d u=d x \\ v=2 \tan \frac{x}{2} \end{array}\right.\right.\)
Khi đó:
\(I=\frac{1}{2}\left[\left.\left(2 x \tan \frac{x}{2}\right)\right|_{0} ^{\frac{\pi}{4}}-2 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan \frac{x}{2} d x\right]=\frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{2} \tan \frac{\pi}{8}-2 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}} d x\right)\)
\(=\frac{\pi}{2} \tan \frac{\pi}{8}+4 \int_{1}^{\cos \frac{\pi}{8}} \frac{1}{t} d t=\frac{\pi}{4} \tan \frac{\pi}{8}+2 \ln \left(\cos \frac{\pi}{8}\right)\)
