Tích phân \(I=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{1+\cos x} d x\) có giá trị là:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có: \(I=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{1+\cos x} d x=\frac{1}{2} I \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{x}{\cos ^{2} \frac{x}{2}} d x\)
Đặt \(\left\{\begin{array}{l} u=x \\ d v=\cos ^{2} \frac{x}{2} d x \end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} d u=d x \\ v=2 \tan \frac{x}{2} \end{array}\right.\right.\)
Khi đó:
\(I=\frac{1}{2}\left[\left.\left(2 x \tan \frac{x}{2}\right)\right|_{0} ^{\frac{\pi}{4}}-2 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan \frac{x}{2} d x\right]=\frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{2} \tan \frac{\pi}{8}-2 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}} d x\right)\)
\(=\frac{\pi}{2} \tan \frac{\pi}{8}+4 \int_{1}^{\cos \frac{\pi}{8}} \frac{1}{t} d t=\frac{\pi}{4} \tan \frac{\pi}{8}+2 \ln \left(\cos \frac{\pi}{8}\right)\)
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x^2} - x}&{{\rm{ khi }}x \ge 0}\\ x&{{\rm{ khi }}x < 0} \end{array}} \right.\). Khi đó \(I=\int\limits_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}{\cos xf\left( \sin x \right)}dx\) bằng
-
Giá trị của tích phân \(I=\int_{0}^{\ln 3} \frac{e^{x}}{\left(e^{x}+1\right)^{3}} d x\) là
-
Biết rằng tích phân \(\int_{0}^{1}(2 x+1) e^{x} d x=a+b \cdot e\). Tích a.b bằng:
-
Cho f (x) không âm thỏa mãn điều kiện \(f(x) \cdot f^{\prime}(x)=2 x \sqrt{f^{2}(x)+1} \text { và } f(0)=0\) . Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y=f(x)trên [1;3] là ?
-
Tính tích phân sau: \(\mathop \smallint \nolimits_0^2 \left| {{x^2} - 1} \right|dx\)
-
Cho hàm số \(f(x) \neq 0\) thỏa mãn điều kiện \(f^{\prime}(x)=(2 x+3) \cdot f^{2}(x) \text { và } f(0)=\frac{-1}{2}\) . Biết tổng \(f(1)+f(2)+\ldots+f(2017)+f(2018)=\frac{a}{b} \text { với } a \in \mathbb{Z}, b \in \mathbb{N}^{*} \text { và } \frac{a}{b}\) là phân số tối giản.
Mệnh đề nào sau đây đúng? -
Tính \(\mathrm{I}=\int_{0}^{1} \frac{2 x+9}{x+3} d x\)
-
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi : Đồ thị hàm số y = x + x−1, trục hoành , đường thẳng x = 1 và x = 2
-
Tích phân \(I = \mathop \smallint \nolimits_0^4 \left| {x - 2} \right|dx\) bằng:
-
Để tính \(% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamytaiabg2 % da9maapehabaWaaeWaaeaacaWG4bGaey4kaSIaaGymaaGaayjkaiaa % wMcaaiaaikdadaahaaWcbeqaaiaadIhaaaaabaGaaGimaaqaaiaaig % daa0Gaey4kIipaaaa!41A8! M = \int\limits_0^1 {\left( {x + 1} \right){2^x}} \) bằng phương pháp tích phân từng phần ta đặt u = x + 1 và \(% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaeizaabaaa % aaaaaapeGaamODaiabg2da9iaaikdadaahaaWcbeqaaiaadIhaaaGc % caWGKbGaamiEaaaa!3CD2! {\rm{d}}v = {2^x}dx\). Tìm du và tính M
-
Cho hàm số f(x) liên tục trên R và các tích phân \(\mathop \smallint \nolimits_0^{\frac{{\rm{\pi }}}{4}} f\left( {\tan \;x} \right)dx\) và\(\mathop \smallint \nolimits_0^1 \frac{{{x^2}f\left( x \right)}}{{{x^2} + 1}}dx\), tính tích phân \(\mathop \smallint \nolimits_0^1 f\left( x \right)dx\)
-
Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} 1 - {x^2}\,\,\,\,{\rm{khi}}\;x \le 3\\ 7 - 5x\,\,\,{\rm{khi}}\,\,x > 3 \end{array} \right.\). Tính tích phân \(\int\limits_{0}^{\ln 2}{f\left( 3{{e}^{x}}-1 \right)}{{\text{e}}^{x}}\text{d}x\).
-
Cho hàm số y=f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ bên. Hình phẳng được đánh dấu trong hình vẽ bên có diện tích là:
-
Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] và thỏa mãn f(0) = 6; \(% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaa8qCaeaada % qadaqaaiaaikdacaWG4bGaeyOeI0IaaGOmaaGaayjkaiaawMcaaiaa % c6caceWGMbGbauaadaqadaqaaiaadIhaaiaawIcacaGLPaaacaqGKb % GaamiEaiabg2da9iaaiAdaaSqaaiaaicdaaeaacaaIXaaaniabgUIi % Ydaaaa!4696! \int\limits_0^1 {\left( {2x - 2} \right).f'\left( x \right){\rm{d}}x = 6} \), . Tích phân \(% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaa8qmaeaaca % WGMbWaaeWaaeaacaWG4baacaGLOaGaayzkaaGaaeizaiaadIhaaSqa % aiaaicdaaeaacaaIXaaaniabgUIiYdaaaa!3EE7! \int_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \)
-
Tích phân \(I=\int_{0}^{1} \frac{2 a x}{x+1} d x=\ln 2\). Giá trị của a là:
-
Cho \(y = f\left( x \right), y = \,g\left( x \right)\) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên \(\left[ {0;2} \right]\) và \(\int\limits_0^2 {g\left( x \right).f\prime \left( x \right){\rm{d}}x} = 2, \int\limits_0^2 {g\prime \left( x \right).f\left( x \right){\rm{d}}x} = 3\). Tính tích phân \(I = \int\limits_0^2 {{{\left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right]}^\prime }{\rm{d}}x} \).
-
Tính \(% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamysaiabg2 % da9maapehabaWaaSaaaeaacaWG4bWaaWbaaSqabeaacaaIYaGaaGim % aiaaigdacaaI4aaaaaGcbaGaaeyzamaaCaaaleqabaGaamiEaaaaki % abgUcaRiaaigdaaaGaaeizaiaadIhaaSqaaiabgkHiTiaaikdaaeaa % caaIYaaaniabgUIiYdaaaa!466A! I = \int\limits_{ - 2}^2 {\frac{{{x^{2018}}}}{{{{\rm{e}}^x} + 1}}{\rm{d}}x} \)
-
Tính \(\mathop \smallint \nolimits_0^1 x.{e^{2x}}dx\)
-
Tính \(I=\int_{a}^{b} \frac{a-x^{2}}{\left(a+x^{2}\right)^{2}} \mathrm{d} x(\text { với } a, b\) là các số thực dương cho trước).
-
Cho hàm số y f x = ( ) xác định và liên tục trên \(\mathbb{R} \backslash\{0\}\) thỏa mãn \(x^{2} f^{2}(x)+(2 x-1) f(x)=x f^{\prime}(x)-1\) với \(\forall x \in \mathbb{R} \backslash\{0\}\)và \(f(1)=-2\) . Tính \(\int_{1}^{2} f(x) d x\)
