Giả sử hàm số y =f(x)liên tục, nhận giá trị dương trên \((0 ;+\infty)\)và thỏa mãn \(f(x)=f^{\prime}(x) \sqrt{3 x+1}\) , với mọi x > 0 . Mệnh đề nào sau đây đúng? 

Goi (H ) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=e^{x}\) , trục Ox và hai đường thẳng x = 0, x =1. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay (H ) xung quanh trục Ox là:

Xét hàm số f liên tục trên R và các số thực a, b, c tùy ý. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

Tính tích phân \(\int_{1}^{5} \frac{d x}{x \sqrt{3 x+1}}\)được kết quả là \(I=a \ln 3+b \ln 5\). Giá trị của \(a^{2}+a b+3 b^{2}\) là:

Giá trị nào của b để \(\int_{1}^{b}(2 x-6) d x=0 ?\)

Biết \(I=\int\limits_{1}^{5}{\frac{2\left| x-2 \right|+1}{x}\text{d}x}=4+a\ln 2+b\ln 5\) với \(a,b\in \mathbb{Z}\). Tính \(S=a+b\)

Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=\frac{x}{4}, y=0, x=1, x=4\) quay quanh trục Ox bằng
 

Cho hàm số f(x) thỏa mãn \(f^{\prime}(x)+2 x \cdot f(x)=\mathrm{e}^{x} f(x) \text { với } f(x) \neq 0, \forall x \text { và } f(0)=1\)  . Khi đó \(\mid f(1)|\) bằng?

Tính tích phân \(I = \mathop \smallint \nolimits_{ - 1}^0 \left( {2{x^2} + x + 1} \right)\ln \left( {x + 2} \right)dx\)

Kết quả của tích phân \(\mathop \smallint \nolimits_{ - 1}^0 \left( {x + 1 + \frac{2}{{x - 1}}} \right)dx\) được viết dưới dạng \(a+b\ln 2\) với a, b ∈ Q. Khi đó a+b bằng:

Cho \(I = \mathop \smallint \nolimits_1^{{e^{\frac{{\rm{\pi }}}{2}}}} \frac{{\cos \left( {\ln \;x} \right)}}{x}dx\), ta tính được:

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] và thỏa mãn f(0) = 6; \(% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaa8qCaeaada % qadaqaaiaaikdacaWG4bGaeyOeI0IaaGOmaaGaayjkaiaawMcaaiaa % c6caceWGMbGbauaadaqadaqaaiaadIhaaiaawIcacaGLPaaacaqGKb % GaamiEaiabg2da9iaaiAdaaSqaaiaaicdaaeaacaaIXaaaniabgUIi % Ydaaaa!4696! \int\limits_0^1 {\left( {2x - 2} \right).f'\left( x \right){\rm{d}}x = 6} \), . Tích phân \(% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaa8qmaeaaca % WGMbWaaeWaaeaacaWG4baacaGLOaGaayzkaaGaaeizaiaadIhaaSqa % aiaaicdaaeaacaaIXaaaniabgUIiYdaaaa!3EE7! \int_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \)

Tích phân \(I=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\mathrm{d} x}{\sin ^{2} x}\) bằng?

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [0; 10] thỏa mãn \(\mathop \smallint \nolimits_0^{10} f\left( x \right)dx = 7,\mathop \smallint \nolimits_2^6 f\left( x \right)dx = 3\). Tính \(P = \mathop \smallint \nolimits_0^2 f\left( x \right)dx + \mathop \smallint \nolimits_6^{10} f\left( x \right)dx\)

Cho hàm số f (x) liên tục trên R thỏa mãn \(f^{3}(x)+f(x)=x, \forall x \in \mathbb{R}\). Tính  \(I=\int_{0}^{2} f(x) d x\)?

 Cho hàm số f (x) có đạo hàm và đồng biến trên ℝ thỏa mãn \(f(0)=1 \text { và }\left(f^{\prime}(x)\right)^{2}=e^{x} f(x), \forall x \in \mathbb{R}\) . Tính tích phân \(\int_{0}^{1} f(x) d x\) bằng?

Cho hàm số f(x)>0 có đạo hàm liên tục trên \(\left[0, \frac{\pi}{3}\right]\) , đồng thời thỏa mãn \(f^{\prime}(0)=0 ; f(0)=1 \text { và } f^{\prime \prime}(x) \cdot f(x)+\left[\frac{f(x)}{\cos x}\right]^{2}=\left[f^{\prime}(x)\right]^{2}\). Tính \(T=f\left(\frac{\pi}{3}\right)\)

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Mệnh đề nào dưới đây sai?

Tính tích phân sau: \(\mathop \smallint \nolimits_0^2 \left| {{x^2} - 1} \right|dx\)

Cho hàm số f(x) thỏa mãn \(\left[f^{\prime}(x)\right]^{2}+f(x) \cdot f^{\prime \prime}(x)=4 x^{3}+2 x\) với mọi \(x \in \mathbb{R} \text { và } f(0)=0\) . Giá trị của \(f^{2}(1)\) bằng?

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(f(4-x)=f(x)\). Biết \(\int_{1}^{3} x f(x) \mathrm{d} x=5\). Tính \(I=\int_{1}^{3} f(x) \mathrm{d} x\)