Cho hàm số \(f(x) \neq 0\) thỏa mãn điều kiện \(f^{\prime}(x)=(2 x+3) \cdot f^{2}(x) \text { và } f(0)=\frac{-1}{2}\). Biết tổng \(f(1)+f(2)+\ldots+f(2017)+f(2018)=\frac{a}{b} \text { với } a \in \mathbb{Z}, b \in \mathbb{N}^{*} \text { và } \frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Mệnh đề nào sau đây đúng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{array}{l} \text { Biến đổi } f^{\prime}(x)=(2 x+3) \cdot f^{2}(x) \Leftrightarrow \frac{f^{\prime}(x)}{f^{2}(x)}=2 x+3 \Leftrightarrow \int \frac{f^{\prime}(x)}{f^{2}(x)} d x=\int(2 x+3) d x \\ \Leftrightarrow-\frac{1}{f(x)}=x^{2}+3 x+C \Rightarrow f(x)=-\frac{1}{x^{2}+3 x+C} \cdot \text { Mà } f(0)=\frac{-1}{2} \text { nên } C=2 . \\ \text { Do đó } f(x)=-\frac{1}{x^{2}+3 x+2}=-\frac{1}{(x+1)(x+2)} \\ \text { Khi đó } \frac{a}{b}=f(1)+f(2)+\ldots+f(2017)+f(2018) \\ =-\left(\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\ldots .+\frac{1}{2018.2019}+\frac{1}{2019.2020}\right) \\ =-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\ldots . .+\frac{1}{2018}-\frac{1}{2019}+\frac{1}{2019}-\frac{1}{2020}\right)=-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2020}\right)=\frac{-1009}{2020} \end{array}\)
Với điều kiện a b, thỏa mãn bài toán, suy ra \(\left\{\begin{array}{l} a=-1009 \\ b=2020 \end{array} \Rightarrow b-a=3029\right.\)