Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [1;2] thỏa mãn \(\int_{1}^{2}(x-1)^{2} f(x) \mathrm{d} x=-\frac{1}{3}, f(2)=0, \int_{1}^{2}\left[f^{\prime}(x)\right]^{2} \mathrm{~d} x=7 . \text { Tính } I=\int_{1}^{2} f(x) \mathrm{d} x\)?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{array}{l} \text { Đặt }\left\{\begin{array}{l} u=f(x) \\ \mathrm{d} v=(x-1)^{2} \mathrm{~d} x \end{array}\right. \text { ta được }\left\{\begin{array}{l} \mathrm{d} u=f^{\prime}(x) \mathrm{d} x \\ v=\frac{1}{3}(x-1)^{3} \end{array}\right. \\ \text { Khi đó } \int_{1}^{2}(x-1)^{2} f(x) \mathrm{d} x=\left.\frac{1}{3}(x-1)^{3} f(x)\right|_{1} ^{2}-\frac{1}{3} \int_{1}^{2}(x-1)^{3} f^{\prime}(x) \mathrm{d} x \\ \Rightarrow-\frac{1}{3}=-\frac{1}{3} \int_{1}^{2}(x-1)^{3} f^{\prime}(x) \mathrm{d} x \Rightarrow \int_{0}^{2}(x-1)^{3} f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=1 \end{array}\)
\(\text { Xét } \int_{1}^{2}\left[f^{\prime}(x)-k(x-1)^{3}\right]^{2} \mathrm{~d} x=0(k \in \mathbb{R}) \text { . }\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \int_{1}^{2}\left[f^{\prime}(x)\right]^{2} \mathrm{~d} x-2 k \int_{1}^{2}(x-1)^{3} f^{\prime}(x) \mathrm{d} x+k^{2} \int_{1}^{2}(x-1)^{6} \mathrm{~d} x=0 \\ \Leftrightarrow 7-2 k+\frac{k^{2}}{7}=0 \Leftrightarrow k=7 \Rightarrow f^{\prime}(x)=7(x-1)^{3} \cdot \Rightarrow f(x)=\frac{7(x-1)^{4}}{4}+C \\ \text { Do } f(2)=0 \text { nên } C=-\frac{7}{4} \Rightarrow f(x)=\frac{7(x-1)^{4}}{4}-\frac{7}{4} \\ \text { Vậy } I=\frac{7}{4} \int_{1}^{2}\left[(x-1)^{4}-1\right] \mathrm{d} x=\left.\frac{7}{4}\left[\frac{(x-1)^{5}}{5}-x\right]\right|_{1} ^{2}=-\frac{7}{5} \end{array}\)
