Cho hàm số f (x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [1;2] thỏa mãn \(\int_{1}^{2}(x-1)^{2} f(x) \mathrm{d} x=-\frac{1}{3}, f(2)=0, \int_{1}^{2}\left[f^{\prime}(x)\right]^{2} \mathrm{~d} x=7 . \text { Tính } I=\int_{1}^{2} f(x) \mathrm{d} x\)?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{array}{l} \text { Đặt }\left\{\begin{array}{l} u=f(x) \\ \mathrm{d} v=(x-1)^{2} \mathrm{~d} x \end{array}\right. \text { ta được }\left\{\begin{array}{l} \mathrm{d} u=f^{\prime}(x) \mathrm{d} x \\ v=\frac{1}{3}(x-1)^{3} \end{array}\right. \\ \text { Khi đó } \int_{1}^{2}(x-1)^{2} f(x) \mathrm{d} x=\left.\frac{1}{3}(x-1)^{3} f(x)\right|_{1} ^{2}-\frac{1}{3} \int_{1}^{2}(x-1)^{3} f^{\prime}(x) \mathrm{d} x \\ \Rightarrow-\frac{1}{3}=-\frac{1}{3} \int_{1}^{2}(x-1)^{3} f^{\prime}(x) \mathrm{d} x \Rightarrow \int_{0}^{2}(x-1)^{3} f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=1 \end{array}\)
\(\text { Xét } \int_{1}^{2}\left[f^{\prime}(x)-k(x-1)^{3}\right]^{2} \mathrm{~d} x=0(k \in \mathbb{R}) \text { . }\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \int_{1}^{2}\left[f^{\prime}(x)\right]^{2} \mathrm{~d} x-2 k \int_{1}^{2}(x-1)^{3} f^{\prime}(x) \mathrm{d} x+k^{2} \int_{1}^{2}(x-1)^{6} \mathrm{~d} x=0 \\ \Leftrightarrow 7-2 k+\frac{k^{2}}{7}=0 \Leftrightarrow k=7 \Rightarrow f^{\prime}(x)=7(x-1)^{3} \cdot \Rightarrow f(x)=\frac{7(x-1)^{4}}{4}+C \\ \text { Do } f(2)=0 \text { nên } C=-\frac{7}{4} \Rightarrow f(x)=\frac{7(x-1)^{4}}{4}-\frac{7}{4} \\ \text { Vậy } I=\frac{7}{4} \int_{1}^{2}\left[(x-1)^{4}-1\right] \mathrm{d} x=\left.\frac{7}{4}\left[\frac{(x-1)^{5}}{5}-x\right]\right|_{1} ^{2}=-\frac{7}{5} \end{array}\)
Câu hỏi liên quan
-
Giá trị của tích phân \(\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\text{max}\left\{ \sin x,\cos x \right\}\text{d}x}\) bằng
-
Tích phân \(I=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(\sin a x+\cos a x) d x, \text { vói } a \neq 0\) có giá trị là
-
Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{1}{x}}&{{\rm{ }}khi{\rm{ }}x \ge 1}\\ {x + 1}&{{\rm{ }}khi{\rm{ }}x < 1} \end{array}} \right.\). Tích phân \(\int\limits_{-2}^{1}{f(\sqrt[3]{1-x})\text{d}x}=\frac{m}{n}\) (\(\frac{m}{n}\) là phân số tối giản), khi đó m-2n bằng:
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ {0;\,1} \right]\) thỏa mãn \(f\left( 1 \right) = 1, \,\int\limits_0^1 {{{\left[ {f’\left( x \right)} \right]}^2}{\rm{d}}x = \frac{9}{5}} \) và \(\int\limits_0^1 {f\left( {\sqrt x } \right){\rm{d}}x} = \frac{2}{5}\). Tính tích phân \(I = \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \).
-
Cho tích phân:\(I=\int\limits_{1}^{e} \frac{\sqrt{1-\ln x}}{2 x} d x\) .Đặt \(u=\sqrt{1-\ln x}\) .Khi đó I bằng
-
Giá trị của tích phân \(I=\int_{\ln 2}^{\ln 5} \frac{e^{2 x} d x}{\sqrt{e^{x}-1}}\) là
-
Tính tích phân \(I=\int_{0}^{2} \max \left\{x ; x^{3}\right\} d x\)
-
Tính tích phân \(\int_{1}^{5} \frac{d x}{x \sqrt{3 x+1}}\)được kết quả là \(I=a \ln 3+b \ln 5\). Giá trị của \(a^{2}+a b+3 b^{2}\) là:
-
Cho hàm số f(x) có đạo hàm trên R và thỏa mãn f(2016) = a, f(2017) = b, \(\left( {a;\;b \in R} \right)\). Giá trị \(I = \mathop \smallint \nolimits_{2017}^{2016} 2015f'\left( x \right).{f^{2014}}\left( x \right)dx\) bằng:
-
Cho hàm số f(x) liên tục trên [0;1] thỏa mãn \(f(x)=6 x^{2} f\left(x^{3}\right)-\frac{6}{\sqrt{3 x+1}} \cdot \operatorname{Tính} \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\)
-
Đổi biến x = 2sint thì tích phân \(\int_{0}^{1} \frac{d x}{\sqrt{4-x^{2}}}\)trở thành:
-
Cho \(\int_{-2}^{1} f(x) \mathrm{d} x=3\) . Tính tích phân \(I=\int_{-2}^{1}[2 f(x)-1] \mathrm{d} x\)
-
Cho hình phẳng (H ) giới hạn bởi các đường cong \(y=\frac{\ln x}{\sqrt{x}}\), trục hoành và đường thẳng x = e . Khối tròn xoay tạo thành khi quay (H ) quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?
-
Cho hàm số \(y=f(x)=\left\{\begin{array}{lll} 6 x^{2} & \text { khi } & x \leq 0 \\ a-a^{2} x & \text { khi } & x \geq 0 \end{array} \text { và } I=\int_{-1}^{4} f(x) \mathrm{d} x\right.\). Hỏi có tất cả bao nhiêu số nguyên \(I+22 \geq 0 ?\)
-
Tích phân \(I=\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{2}-x-2}\) có giá trị bằng
-
Tính tích phân \(I=\int_{0}^{1} \frac{\mathrm{d} x}{x^{2}-9}\)
-
Tập hợp nghiệm của bất phương trình \(\int_{0}^{x} \frac{t}{\sqrt{t^{2}+1}} \mathrm{d} t>0(\text { ẩn } x)\) là:
-
Cho biết \(\int_{0}^{\sqrt{7}} \frac{x^{3}}{\sqrt[3]{1+x^{2}}} \mathrm{d} x=\frac{m}{n} \text { vói } \frac{m}{n}\) là phân số tối giản. Tính m-7n
-
Cho hình (H ) giới hạn bởi trục hoành, đồ thị của một Parabol và một đường thẳng tiếp xúc với Parabol đó tại điểm A(2;4) , như hình vẽ bên. Thể tích vật thể tròn xoay tạo bởi khi hình (H ) quay quanh trục Ox bằng:
-
Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị \(y=|x|\text{ và }y=x^{2}\)quay quanh trục tung tạo nên một vật thể tròn xoay có thể tích bằng
