Cho hàm số f(x) đồng biến và có đạo hàm lên tục trên đoạn [1;4] thỏa mãn f(1)=1 và \(\left[f(x)+x f^{\prime}(x)\right]^{2}=4 f(x), \forall x \in[1 ; 4]\). Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f(x)\) , trục hoành và hai đường thẳng \(x=1, x=4\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Ta có }\left(f(x)+x f^{\prime}(x)\right)^{2}=4 f(x) \Rightarrow \frac{\left(f(x)+x f^{\prime}(x)\right)^{2}}{4 f(x)}=1 \Rightarrow \frac{\left(f(x)+x f^{\prime}(x)\right)^{2}}{4 x f(x)}=\frac{1}{x}\\ &\Rightarrow \frac{f(x)+x f^{\prime}(x)}{2 \sqrt{x f(x)}}=\frac{1}{\sqrt{x}} \Rightarrow \frac{(x)^{\prime} f(x)+x f^{\prime}(x)}{2 \sqrt{x f(x)}}=\frac{1}{\sqrt{x}} \Rightarrow \frac{(x f(x))^{\prime}}{2 \sqrt{x f(x)}}=\frac{1}{\sqrt{x}} \Rightarrow(\sqrt{x f(x)})^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{x}}\\ &\Rightarrow \sqrt{x f(x)}=\int \frac{1}{\sqrt{x}} d x \Rightarrow \sqrt{x f(x)}=2 \sqrt{x}+C \end{aligned}\)
\(\text { Lại có } f(1)=1 \Rightarrow C=-1 \Rightarrow \sqrt{x f(x)}=2 \sqrt{x}-1 \Rightarrow f(x)=\frac{(2 \sqrt{x}-1)^{2}}{x} \text { . }\)
\(\text { Do đó } S=\int_{1}^{4} \frac{(2 \sqrt{x}-1)^{2}}{x} d x=\int_{1}^{4}\left(4-\frac{4}{\sqrt{x}}+\frac{1}{x}\right) d x=\left.4 x\right|_{1} ^{4}-\left.8 \sqrt{x}\right|_{1} ^{4}+\left.\ln x\right|_{1} ^{4}=4+2 \ln 2\)
