Cho hàm số f(x) đồng biến và có đạo hàm lên tục trên đoạn [1;4] thỏa mãn f(1)=1 và \(\left[f(x)+x f^{\prime}(x)\right]^{2}=4 f(x), \forall x \in[1 ; 4]\). Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f(x)\) , trục hoành và hai đường thẳng \(x=1, x=4\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Ta có }\left(f(x)+x f^{\prime}(x)\right)^{2}=4 f(x) \Rightarrow \frac{\left(f(x)+x f^{\prime}(x)\right)^{2}}{4 f(x)}=1 \Rightarrow \frac{\left(f(x)+x f^{\prime}(x)\right)^{2}}{4 x f(x)}=\frac{1}{x}\\ &\Rightarrow \frac{f(x)+x f^{\prime}(x)}{2 \sqrt{x f(x)}}=\frac{1}{\sqrt{x}} \Rightarrow \frac{(x)^{\prime} f(x)+x f^{\prime}(x)}{2 \sqrt{x f(x)}}=\frac{1}{\sqrt{x}} \Rightarrow \frac{(x f(x))^{\prime}}{2 \sqrt{x f(x)}}=\frac{1}{\sqrt{x}} \Rightarrow(\sqrt{x f(x)})^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{x}}\\ &\Rightarrow \sqrt{x f(x)}=\int \frac{1}{\sqrt{x}} d x \Rightarrow \sqrt{x f(x)}=2 \sqrt{x}+C \end{aligned}\)
\(\text { Lại có } f(1)=1 \Rightarrow C=-1 \Rightarrow \sqrt{x f(x)}=2 \sqrt{x}-1 \Rightarrow f(x)=\frac{(2 \sqrt{x}-1)^{2}}{x} \text { . }\)
\(\text { Do đó } S=\int_{1}^{4} \frac{(2 \sqrt{x}-1)^{2}}{x} d x=\int_{1}^{4}\left(4-\frac{4}{\sqrt{x}}+\frac{1}{x}\right) d x=\left.4 x\right|_{1} ^{4}-\left.8 \sqrt{x}\right|_{1} ^{4}+\left.\ln x\right|_{1} ^{4}=4+2 \ln 2\)
Câu hỏi liên quan
-
Khẳng định nào sau đây sai?
-
Cho hai số thực a và b thỏa mãn a b < và\(\int_{a}^{b} x \sin x d x=\pi\) , đồng thời \(a \cos a=0\) và \(b \cos b=-\pi\) . Tích phân \(\int_{a}^{b} \cos x d x\) có giá trị bằng
-
Giá trị tích phân \(I=\int\limits_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x-\cos x}{\sqrt{1+\sin 2 x}} d x\) là
-
Cho hình phẳng (H ) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=\frac{1}{x}\)và các đường thẳng y = 0, x =1, x = 4 . Thể tích V của khối tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng (H ) quay quanh trục Ox .
-
\(\text { Đặt } I=\int_{1}^{2}(2 m x+1) \mathrm{d} x\) ( là tham số thực). Tìm để I=4
-
Cho giá trị của tích phân \(I_{1}=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{3}}(\sin 2 x+\cos x) d x=a, I_{2}=\int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}(\cos 2 x+\sin x) d x=b\). Giá trị của P=a + b là:
-
Cho f(x) liên tục trên [0;5] thỏa mãn \(\mathop \smallint \limits_0^5 f\left( x \right)dx = 5,\mathop \smallint \limits_1^3 f\left( x \right)dx = 1\), khi đó giá trị của \(P = \mathop \smallint \limits_0^1 f\left( x \right)dx + \mathop \smallint \limits_3^5 f\left( x \right)dx\) là:
-
Cho \(\int\limits_2^5 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 10\). Kết quả \(\int\limits_5^2 {\left[ {2 – 4f\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} \) bằng
-
Tính \(I=\int_{0}^{e-1} x \ln (x+1) d x\)
-
Cho (H ) là hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y=\mathrm{e}, y=\mathrm{e}^{x} \text { và } y=(1-\mathrm{e}) x+1\) (tham khảo hình vẽ bên).
Diện tích hình phẳng (H ) là
-
Biết\(I=\int_{-1}^{0} \frac{3 x^{2}+5 x-1}{x-2} \mathrm{d} x=a \ln \frac{2}{3}+b, \text { với } a, b \in \mathbb{Q}\). Tính giá trị của a+2b
-
Cho hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên đoạn [a;b] . Mệnh đề nào dưới đây sai?
-
Cho \(\int_{0}^{1}[f(x)-2 g(x)] \mathrm{d} x=12 \text { và } \int_{0}^{1} g(x) \mathrm{d} x=5 \text {. Khi đó } \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\) bằng:
-
Cho D là miền phẳng giới hạn bởi các đường : \(y=f(x)=\frac{1}{1+x^{2}} ; y=g(x)=\frac{x^{2}}{2}\).Tính thể tích khối tròn xoay thu được tạo thành khi quay D quanh trục Ox ? Thể tích được viết dưới dạng \(T=m \pi^{2}+n \pi ; \mathrm{m}, \mathrm{n} \in \mathrm{R}\) thì tổng giá trị m + n là ?
-
Biết \(f\left( x \right)\) là hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và \(\int\limits_0^9 {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = 9\). Khi đó giá trị của \(\int\limits_1^4 {f\left( {3x – 3} \right)} {\rm{d}}x\) là
-
Tích phân \(I=\int_{0}^{1} \frac{a}{\sqrt{3 x^{2}+12}} d x\) có giá trị là:
-
Tính tích phân sau \(\mathop \smallint \nolimits_{ - \frac{{\rm{\pi }}}{2}}^{\frac{{\rm{\pi }}}{3}} \left| {\sin x} \right|dx\)
-
Cho hàm số \(y=f(x), y=g(x)\) , liên tục trên [a;b] và số thực k tùy ý. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
-
Tích phân \(I=\int_{0}^{1} \frac{a^{2} x^{3}+a x}{\sqrt{a x^{2}+1}} d x, \text { vói } a \geq 0\) có giá trị là:
-
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f1(x), y = f2(x) liên tục và hai đường thẳng x = a, x = b x = a, x = b được tính theo công thức:
