Tính \(\displaystyle  \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {({{\cos }^5}\varphi }  - {\sin ^5}\varphi )d\varphi \)

Cho hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên ℝ và \(f(x)+2 f\left(\frac{1}{x}\right)=3 x\). Tính \(I=\int_{\frac{1}{2}}^{2} \frac{f(x)}{x} d x\)

Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \sqrt x \) và y = x quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay được tạo thành bằng:

Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2x − x²; Ox. Quay (H) xung quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích bằng?

Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\rm{e}}^{2x}}}&{{\rm{ }}khi{\rm{ }}x \ge 0}\\ {{x^2} + x + 2}&{{\rm{ }}khi{\rm{ }}x < 0} \end{array}} \right.\). Biết tích phân \(\int\limits_{ - 1}^1 {f(x)\;{\rm{d}}x}  = \frac{a}{b} + \frac{{{{\rm{e}}^2}}}{c}\) (\(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản). Giá trị a + b + c bằng

Tích phân \(I=\int_{1}^{2}\left(x^{2}+\frac{x}{x+1}\right) d x\) có giá trị là

Tích phân \(\int\limits_1^2 {2x{\rm{d}}x} \) có giá trị là:

Tính thể tích khối tròn xoay khi quay quanh Ox; đồ thị hàm số y = sinx, trục hoành, đường thẳng \(x = \frac{{\rm{\pi }}}{2},\;x = {\rm{\pi }}\)

 Cho hàm số f (x) đồng biến và có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn \(f(0)=1\) và \(\left[f^{\prime}(x)\right]^{2}-16 x^{2} \cdot f(x)=0 \text { với mọi } x \in[0 ; 1]\) .  Giá trị của tích phân \(I=\int_{0}^{1} f(x) d x\)  bằng
 

Tích phân \(I=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\mathrm{d} x}{\sin ^{2} x}\) bằng?

Tính tích phân \(I = \int\limits_0^1 {\frac{{{\rm{d}}x}}{{3 – 2x}}} \)

Tính \(C = \mathop \smallint \nolimits_0^{\frac{{\rm{\pi }}}{2}} {x^2}\cos xdx\)

Cho \(\int\limits_1^2 {\left[ {4f\left( x \right) – 2x} \right]dx} = 1\). Khi đó \(\int\limits_1^2 {f\left( x \right)} dx\) bằng :

Nếu \(\int_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 4\) thì \(\int_0^2 {\left[ {2f\left( x \right) – 8} \right]{\rm{d}}x} \) bằng

Tích phân \(\int_{0}^{2} \frac{x}{x^{2}+3} d x\) bằng?

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=x^{2}+2, x=1, x=2, y=0\)

Cho giá trị của tích phân \(I_{1}=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{3}}(\sin 2 x+\cos x) d x=a, I_{2}=\int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}(\cos 2 x+\sin x) d x=b\). Giá trị của P=a + b là:

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục thỏa mãn \(f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0, \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {{{\left[ {f’\left( x \right)} \right]}^2}{\rm{d}}x} = \frac{\pi }{4}\) và \(\int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {\cos x\,f\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{\pi }{4}\). Tính \(f\left( {2018\pi } \right)\).

Tích phân \(I = \mathop \smallint \nolimits_0^{\frac{{\rm{\pi }}}{2}} \sin \;xdx\) bằng:

Cho hàm số f(x)liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \tan x \cdot f\left(\cos ^{2} x\right) \mathrm{d} x=2 \text { và } \int_{e}^{e^{2}} \frac{f\left(\ln ^{2} x\right)}{x \ln x} \mathrm{~d} x=2 . \operatorname{Tính} \int_{\frac{1}{4}}^{2} \frac{f(2 x)}{x} \mathrm{~d} x\)

Tính \(I=\int_{0}^{1} \frac{d x}{1+x^{2}}\)