Tích phân \(I=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{2 x-\sin x}{2-2 \cos x} d x\) có giá trị là:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có: \(I=\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{2 x-\sin x}{2-2 \cos x} d x=\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x}{1-\cos x} d x-\frac{1}{2} \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1-\cos x} d x\)
Xét \(I_{1}=\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x}{1-\cos x} d x=\frac{1}{2} \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x}{\sin ^{2} \frac{x}{2}} d x\)
Đặt \(\left\{\begin{array}{l} u=x \\ d v=\frac{1}{\sin ^{2} \frac{x}{2}} d x \end{array}\right. \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} d u=d x \\ v=-2 \cot \frac{x}{2} \end{array}\right.\)
\(\Rightarrow I_{1}=\frac{1}{2}\left[\left.\left(-2 x \cdot \cot \frac{x}{2}\right)\right|_{\frac{\pi}{3}} ^{\frac{\pi}{2}}+2 \int\limits_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \cot \frac{x}{2} d x\right]=\frac{1}{2}\left[-\pi+\frac{2 \pi \sqrt{3}}{3}+4 \ln \sqrt{2}\right]\)
Xét \(I_{2}=\frac{1}{2} \int\limits_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1-\cos x} d x\)
Đặt \(t=1-\cos x \Rightarrow d t=\sin x d x\)
Đổi cận \(\left\{\begin{array}{l} x=\frac{\pi}{3} \Rightarrow t=\frac{1}{2} \\ x=\frac{\pi}{2} \Rightarrow t=1 \end{array}\right.\)
\(\Rightarrow I_{2}=\frac{1}{2} \int_{\frac{1}{2}}^{1} \frac{1}{t} d t=\left.\frac{1}{2}(\ln |t|)\right|_{\frac{1}{2}} ^{1}=\frac{1}{2} \ln 2\)
\(I=I_{1}-I_{2}=\frac{1}{2}\left(-\pi+\frac{2 \pi \sqrt{3}}{3}+4 \ln \sqrt{2}-\ln 2\right)\)
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} 2x - 4\,\,\,{\rm{khi}}\,x \ge 2\\ 4 - 2x\,\,\,{\rm{khi}}\,x < 2 \end{array} \right.\). Tính tích phân \(\int\limits_{-\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}{f\left( 3-4{{\cos }^{2}}x \right)}\sin 2x\text{d}x\).
-
Cho hai tích phân \(I=\int_{0}^{2} x^{3} d x, J=\int_{0}^{2} x d x\) .Tìm mối quan hệ giữa I và J
-
Tích phân\(\int\limits_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{2 \pi}{3}} \cos \left(3 x-\frac{2 \pi}{3}\right) d x\) có giá trị là
-
Cho hàm số y=f(x) liên tục trên [0;2], thỏa các điều kiện \(f(2)=1 \text { và } \int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{2}\left[f^{\prime}(x)\right]^{2} \mathrm{~d} x=\frac{2}{3} . \text { Giá trị của } \int_{1}^{2} \frac{f(x)}{x^{2}} \mathrm{~d} x:\)
-
Cho \(I = \mathop \smallint \nolimits_1^{{e^{\frac{{\rm{\pi }}}{2}}}} \frac{{\cos \left( {\ln \;x} \right)}}{x}dx\), ta tính được:
-
Tính tích phân \(I=\int_{0}^{1} x^{2018}(1+x) \mathrm{d} x\).
-
Tích phân \(I=\int_{1}^{2}\left(a x^{2}+\frac{b}{x}\right) d x\) có giá trị là:
-
Cho (H) là hình phẳng giới hạn bởi parabol \(y=\sqrt 3 {x^2}\) và nửa đường tròn có phương trình \(y=\sqrt {4\; - {x^2}} \) với −2 ≤ x ≤ 2 (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của (H) bằng
-
Nếu \(\displaystyle \int\limits_a^d {f\left( x \right)dx} = 5,\int\limits_b^d {f\left( x \right)dx} = 2\) với \(\displaystyle a < d < b\) thì \(\displaystyle \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \) bằng
-
Nếu \(\int_{2}^{5} k^{2}\left(5-x^{3}\right) d x=-549\) thì giá trị của k là:
-
Tích phân \(I=\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} x \sin a x d x, a \neq 0\) cóp giá trị
-
Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn \(f(0)=\frac{1}{3}\) và \(f(x)-f^{\prime}(x)=[f(x)]^{2}\) với mọi \(x \in[0 ; 1]\).Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f(x)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=0 ; x=1\)
-
Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0;3]. Nếu \(\int_{0}^{3} f(x) d x=2\) thì tích phân \(\int_{0}^{3}[x-2 f(x)] d x\) có giá trị bằng
-
Cho hàm số f(x) xác định trên \(\mathbb{R} \backslash\{-2 ; 1\}\) thỏa mãn \(f^{\prime}(x)=\frac{1}{x^{2}+x-2} ; f(-3)-f(3)=0 \text { và } f(0)=\frac{1}{3}\). Giá trị của biểu thức \(f(-4)+f(-1)-f(4)\) bằng ?
-
Tích phân \(\int_{0}^{2} \frac{x}{x^{2}+3} d x\) bằng?
-
Xét hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên R và thỏa mãn điều kiện f(1) = 1 ; f(2) = 44. Tính \(% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOsaiabg2 % da9maapehabaWaaeWaaeaadaWcaaqaaiqadAgagaqbamaabmaabaGa % amiEaaGaayjkaiaawMcaaiabgUcaRiaaikdaaeaacaWG4baaaiabgk % HiTmaalaaabaGaamOzamaabmaabaGaamiEaaGaayjkaiaawMcaaiab % gUcaRiaaigdaaeaacaWG4bWaaWbaaSqabeaacaaIYaaaaaaaaOGaay % jkaiaawMcaaiaabsgacaWG4baaleaacaaIXaaabaGaaGOmaaqdcqGH % RiI8aaaa!4D39! J = \int\limits_1^2 {\left( {\frac{{f'\left( x \right) + 2}}{x} - \frac{{f\left( x \right) + 1}}{{{x^2}}}} \right){\rm{d}}x} \)
-
Cho hàm số f(x) có đạo hàm, liên tục trên \(\mathbb{R}\) , và \(\mathbb{R} \text { và } f(x)>0 \text { khi } x \in[0 ; 5]\) ta có \(f(x) \cdot f(5-x)=1\) . Giá trị của tích phân \(I=\int_{0}^{5} \frac{\mathrm{d} x}{1+f(x)}\) là:
-
Giá trị của \(% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaa8qCaeaada % qadaqaaiaadIhacqGHRaWkcaaIXaaacaGLOaGaayzkaaGaaeyzamaa % CaaaleqabaGaamiEaaaakiaabsgacaWG4baaleaacaaIWaaabaGaaG % ymaaqdcqGHRiI8aaaa!41F4! \int\limits_0^1 {\left( {x + 1} \right){{\rm{e}}^x}{\rm{d}}x} \)
-
Biết rằng \(I_{1}=\int_{0}^{1}(x+\sqrt{x+1}) d x=\frac{a}{6}+b \sqrt{2}\) . Giá trị của \(a-\frac{3}{4} b\) là
-
Cho hàm số f(x) liên tục trên khoảng (-2; 3). Gọi F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên khoảng (-2; 3). Tính \(I = \int\limits_{ - 1}^2 {\left[ {f\left( x \right) + 2x} \right]dx} \), biết F(-1) = 1, F(2) = 4.
