Tính tích phân sau \(\mathop \smallint \nolimits_0^{\frac{{\rm{\pi }}}{2}} \left( {2\cos \;x - \sin \;2x} \right)dx\)

Khẳng định nào sau đây sai?

Tích phân \(I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(\cos x-1) \cos ^{2} x d x\) có giá trị là:

Biết rằng \(\mathop \smallint \nolimits_1^2 \ln \left( {x + 1} \right)dx = a\ln 3 + b\ln 2 + c\)  với a, b, c là các số nguyên. Tính S = a+b+c.

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục thỏa mãn \(f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0, \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {{{\left[ {f’\left( x \right)} \right]}^2}{\rm{d}}x} = \frac{\pi }{4}\) và \(\int\limits_{\frac{\pi }{2}}^\pi {\cos x\,f\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{\pi }{4}\). Tính \(f\left( {2018\pi } \right)\).

Cho giá trị của tích phân \(I_{1}=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{3}}(\sin 2 x+\cos x) d x=a, I_{2}=\int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}(\cos 2 x+\sin x) d x=b\). Giá trị của P=a + b là:

Cho hàm số f liên tục, \(f(x)>-1, f(0)=0\) và thỏa \(f^{\prime}(x) \sqrt{x^{2}+1}=2 x \sqrt{f(x)+1}\) . Tính \(f(\sqrt{3})\)

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên khoảng \((0 ;+\infty)\) thỏa mãn điều kiện \(f(1)=3\) và \(x\left(4-f^{\prime}(x)\right)=f(x)-1, \forall x>0\). Giá trị của f(2) bằng?

Tích phân \(K = \mathop \smallint \nolimits_2^3 \frac{x}{{{x^2} - 1}}\) bằng

Tính \(% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aqatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOsaiabg2 % da9maapehabaGaamiEaiGacohacaGGPbGaaiOBaiaadIhacaaMc8Ua % aeizaiaadIhaaSqaaiaaicdaaeaacaqGapaaniabgUIiYdaaaa!4473! J = \int\limits_0^{\rm{\pi }} {x\sin x\,{\rm{d}}x} \)

Giá trị của tích phân:\(I=\int\limits_{0}^{1} \frac{(7 x-1)^{99}}{(2 x+1)^{101}} d x\) là
 

Cho hàm số f (x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và các tích phân \(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} f(\tan x) \mathrm{d} x=4 \text { và } \int_{0}^{1} \frac{x^{2} f(x)}{x^{2}+1} \mathrm{d} x=2\). Tính tích phân \(I=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\)

Tích phân \(\int_{0}^{3} x(x-1) d x\) có giá trị bằng với giá trị của tích phân nào trong các tích phân dưới đây?

Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên [a;b] và thỏa mãn 0 < g(x) < f(x), ∀ x ∈ [a;b]. Gọi V là thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh Ox hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường: y = f(x), y = g(x), x = a; x = b. Khi đó V được tính bởi công thức nào sau đây?

Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng (H) được giới hạn bởi các đường y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b  xung quanh trục Ox.

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Mệnh đề nào dưới đây sai?

Tính diện tích giới hạn bởi các đừơng cong y = (x - 1)ln(x + 1) và trục hoành

Biết tích phân \(I_{1}=\int_{0}^{1} 2 x d x=a\) . Giá trị của là \(I_{2}=\int_{a}^{2}\left(x^{2}+2 x\right) d x\) là:

Tính tích phân \(I = \int\limits_0^\pi {{{\cos }^3}x\sin xdx} \)

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {3;7} \right]\) và thỏa mãn \(f\left( x \right) = f\left( {10 – x} \right)\) với \(\forall x \in \left[ {3;7} \right]\) và \(\int\limits_3^7 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 4\). Tính \(I = \int\limits_3^7 {xf\left( x \right){\rm{d}}x} \)?

Biết \(\int_0^1 {{e^{4x}}{\rm{d}}x} = \frac{{{e^a} – 1}}{b}\) với \(a,b \in \mathbb{Z},b \ne 0\). Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau.