Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} {x^3} + x + 2\,\,\,{\rm{khi }}x < 1\\ x + 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi }}x \ge 1 \end{array} \right.\). Tính tích phân \(\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{f\left( 3{{\sin }^{2}}x-1 \right)}\sin 2x\text{d}x\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiXét \(I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{f\left( 3{{\sin }^{2}}x-1 \right)\sin 2x\text{d}x}\)
Đặt \(3{{\sin }^{2}}x-1=t\Rightarrow 3\sin 2x\text{d}x=\text{d}t\Rightarrow \sin 2x\text{d}x=\frac{1}{3}\text{d}t\)
Với \(x=0\)\(\Rightarrow \)\(t=-1\)
\(x=\frac{\pi }{2}\)\(\Rightarrow \)\(t=2\)
\(\Rightarrow I=\frac{1}{3}\int\limits_{-1}^{2}{f\left( t \right)\text{d}t}=\frac{1}{3}\int\limits_{-1}^{2}{f\left( x \right)\text{d}x}=\frac{1}{3}\int\limits_{-1}^{1}{f(x)\text{d}x}+\frac{1}{3}\int\limits_{1}^{2}{f(x)\text{d}x}\)
\(=\frac{1}{3}\int\limits_{-1}^{1}{\left( {{x}^{3}}+x+2 \right)\text{d}x}+\frac{1}{3}\int\limits_{1}^{2}{\left( x+3 \right)\text{d}x}=\frac{21}{4}.\)