Cho hàm số $f(x) = \left\{ \begin{array}{l} {x^3} + x + 2\,\,\,{\rm{khi }}x < 1\\ x + 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi }}x \ge 1 \end{array} \right.$. Tính tích phân $\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{f\left( 3{{\sin }^{2}}x-1 \right)}\sin 2x\text{d}x$.

Giá trị của tích phân $I=\int_{0}^{1} \frac{\ln (1+x)}{1+x^{2}} d x$ là

Tính tích phân sau $B = \mathop \smallint \nolimits_0^1 {x^3}{\left( {{x^4} - 1} \right)^5}dx$

Tính tích phân $\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{x}{\cos ^{2} x} d x=a \pi+b$. Phần nguyên của tổng a + b là ?

Cho $% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaaGimaiabgY % da8iaadIhacqGH8aapdaWcaaqaaiabec8aWbqaaiaaikdaaaaaaa!3C3B! 0 < x < \frac{\pi }{2}$ và $% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaa8qCaeaaca % WG4bGaciiDaiaacggacaGGUbGaamiEaiaabsgacaWG4bGaeyypa0da % leaacaaIWaaabaGaamyyaaqdcqGHRiI8aOGaamyBaaaa!42AD! \int\limits_0^a {x\tan x{\rm{d}}x = } m$. Tính $% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamysaiabg2 % da9maapehabaWaaeWaaeaadaWcaaqaaiaadIhaaeaaciGGJbGaai4B % aiaacohacaWG4baaaaGaayjkaiaawMcaamaaCaaaleqabaGaaGOmaa % aakiaabsgacaWG4baaleaacaaIWaaabaGaamyyaaqdcqGHRiI8aaaa % !450D! I = \int\limits_0^a {{{\left( {\frac{x}{{\cos x}}} \right)}^2}{\rm{d}}x}$ theo a và m

Cho hàm số $y=f(x), y=g(x)$ , liên tục trên [a;b] và số thực k tùy ý. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? 

Tính tích phân $I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin ^{2} x \cos x d x$

Cho hàm số y = f( x) = ax³+ bx²+ cx+ d có đồ thị (C). Biết rằng đồ thị (C) tiếp xúc với đường thẳng y = -9  tại điểm có hoành độ dương và đồ thị hàm số y = f’ (x) cho bởi hình vẽ bên. Tìm phần nguyên của giá trị diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành?

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y\; = \;x\; + \frac{1}{x}$, trục hoành, đường thẳng x = -1 và đường thẳng x = -2 là:

Cho m thỏa mãn $\mathop \smallint \nolimits_1^2 \left[ {{m^2} + \left( {4 - 4m} \right)x\; + 4{x^3}} \right]dx\; = \;\mathop \smallint \nolimits_2^4 2xdx$. Nghiệm của phương trình ${\log _3}\;\left( {x + m} \right)\; = \;1$ là:

Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=e^{x}+e^{-x}$, trục hoành, trục tung và đường thẳng x = -2

$\text { Nếu } \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=3 \text { và } \int_{0}^{3} f(x) \mathrm{d} x=7$$\text { thì } \int_{1}^{3} f(x) \mathrm{d} x \text { bằng }$

Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng x =1 và x = 3, biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ $x(1 \leq x \leq 3)$ thì được thiết diện là hình chữ nhật có hai cạnh là $3 x \text { và } \sqrt{3 x^{2}-2}$
 

Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

Tìm tất cả các số hữu tỉ m dương thỏa mãn $\mathop \smallint \nolimits_0^m \frac{{{x^2}}}{{x + 1}}dx = \ln 2 - \frac{1}{2}$

Cho hình phẳng (H ) giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số $f_{1}(x) \text { và } f_{2}(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$ và hai đường thẳng x =a, x =b (tham khảo hình vẽ dưới). Công thức tính diện tích của hình (H ) là:

Hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số $y = \left| {{x^2} - 1} \right|,\;y = \left| x \right| + 5$. Diện tích của (H) bằng

Cho F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) trên [a; b]. Phát biểu nào sau đây sai?

Cho hàm số y=f(x) liên tục trên [a;b], có đồ thị y=f'(x) như hình vẽ sau

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Tính tích phân $I = \int\limits_0^\pi {{{\cos }^3}x\sin xdx}$

Biết $I=\int\limits_{1}^{5}{\frac{2\left| x-2 \right|+1}{x}\text{d}x}=4+a\ln 2+b\ln 5$ với $a,b\in \mathbb{Z}$. Tính $S=a+b$