Cho hàm số \(f(x) = \left\{ \begin{array}{l} {x^3} + x + 2\,\,\,{\rm{khi }}x < 1\\ x + 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi }}x \ge 1 \end{array} \right.\). Tính tích phân \(\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{f\left( 3{{\sin }^{2}}x-1 \right)}\sin 2x\text{d}x\).

Tích phân \(I=\int_{1}^{2} x^{5} d x\) có giá trị là:

Kết quả của tích phân \(\mathop \smallint \nolimits_{ - 1}^0 \left( {x + 1 + \frac{2}{{x - 1}}} \right)dx\) được viết dưới dạng \(a+b\ln 2\) với a, b ∈ Q. Khi đó a+b bằng:

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ {0;\,1} \right]\) thỏa mãn \(f\left( 1 \right) = 0, \int\limits_0^1 {{{\left[ {f’\left( x \right)} \right]}^2}{\rm{d}}x} = 7\) và \(\int\limits_0^1 {{x^2}f\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{1}{3}\). Tích phân \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \) bằng

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=\frac{x+1}{x+2}\), trục hoành và đường thẳng x = 2 là 

Giá trị nào của b để \(\int_{1}^{b}(2 x-6) d x=0 ?\)

Cho hàm số y =f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [1;2] thỏa mãn \(f(1)=\) và \(f(x)-(x+1) f^{\prime}(x)=2 x f^{2}(x), \forall x \in[1 ; 2]\) Giá trị của \(\int_{1}^{2} f(x) d x\) bằng?

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong: y = x²+1, tiếp tuyến với đường cong này tại M(2;5) và trục Oy là:

Nếu \(\begin{equation} \int_{-1}^{4}[5 f(x)-3] \mathrm{d} x=5 \text { thì } \int_{-1}^{4} f x \mathrm{~d} x \text { bằng } \end{equation}\)

Xét hàm số f(x) liên tục trên [0;1] và thỏa mãn điều kiện \(4 x f\left(x^{2}\right)+3 f(x-1)=\sqrt{1-x^{2}}\) . Tích phân \(I=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\) bằng 

Nếu \(\int_1^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 2,\,\,\int_{ – 3}^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 1\) thì \(\int_{ – 3}^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \) bằng

Tính tích phân \(I=\int\limits_{0}^{\pi} x^{2} \cos 2 x \mathrm{d} x\) bằng cách đặt  \(\left\{\begin{array}{l} u=x^{2} \\ \mathrm{d} v=\cos 2 x \mathrm{d} x \end{array}\right.\). Mệnh đề nào sau đây đúng?

Tính \(I=\int_{a}^{b} \frac{a-x^{2}}{\left(a+x^{2}\right)^{2}} \mathrm{d} x(\text { với } a, b\) là các số thực dương cho trước).

Tính tích phân \(\mathop \smallint \nolimits_0^1 x.{e^x}dx\)

Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số\(y=\sqrt{\tan x}\) , trục hoành và các đường thẳng \(x=0, x=\frac{\pi}{4}\) quanh trục hoành là:

Tính  tích phân sau \(C = \mathop \smallint \nolimits_1^2 \frac{{{e^x}}}{{{e^x} - 1}}dx\)

Cho hàm số f x   có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(f(0)=0\) và \(f^{\prime}(x)\left(1+e^{f(x)}\right)=1+e^{x}, \forall x \in \mathbb{R}\) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f(x)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=1, x=3\)

Cho hình phẳng (D) giới hạn bởi các đường y = \({\left( {x - 2} \right)^2}\) và y = 4. Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình (D) khi nó quay xung quanh trục Ox

Cho hàm số f(x) liên tục trên [0;1] thỏa mãn \(f(x)=6 x^{2} f\left(x^{3}\right)-\frac{6}{\sqrt{3 x+1}} \cdot \operatorname{Tính} \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x\)

Tích phân \(I=\int_{-2}^{-1} \frac{\left|x^{3}-3 x+2\right|}{x-1} d x\) có giá trị là

Ta có tích phân \(I = 4\mathop \smallint \nolimits_1^e x\left( {1 + \ln x} \right)dx = a.{e^2} + b.\). Tính M = ab+4(a+b) (trong đó a,b ∈ Z)