$\text { Nếu } \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=3 \text { và } \int_{0}^{3} f(x) \mathrm{d} x=7$$\text { thì } \int_{1}^{3} f(x) \mathrm{d} x \text { bằng }$

Cho $\int\limits_0^1 {\left[ {f\left( x \right) – 2g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = 12$ và $\int\limits_0^1 {g\left( x \right){\rm{d}}x} = 5$, khi đó $\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x}$ bằng

Tích phân $\int_{2}^{3} \frac{x^{2}-x+4}{x+1} d x$ bằng
 

Biết rằng $\begin{equation} \int_{1}^{2} \frac{x^{3}-1}{x^{2}+x} \mathrm{~d} x=a+b \ln 3+c \ln 2 \text { với } a, b, c \text { là các số hữu tỉ. Tính } 2 a+3 b-4 c \text {. } \end{equation}$

Biết rằng $\int_{1}^{5} \frac{3}{x^{2}+3 x} \mathrm{d} x=a \ln 5+b \ln 2(a, b \in \mathbb{Z})$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong $y=x \ln x$, trục hoành và đường thẳng x=e là

Tính tích phân $\mathop \smallint \nolimits_0^1 x.{e^x}dx$

Tích phân $I = \int\limits_0^1 {{{\rm{e}}^{2x}}{\rm{d}}x}$ bằng

 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường y = x² + x − 1 và y = x⁴ + x − 1 là:

Giá trị của tích phân: $I=\int\limits_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1+\cos ^{2} x} d x$ là
 

Cho tích phân $I = \mathop \smallint \limits_2^3 \frac{{dx}}{{x\sqrt {{x^3} + 1} }}$. Xác định 3a+b biết $I = a\ln \left( {29 - 2\sqrt {27} } \right) + b\ln 3 + a\ln 2.$ $(a,b \in \mathbb{R})$

Tích phân $I=\int_{-2}^{-1} \frac{\left|x^{3}-3 x+2\right|}{x-1} d x$ có giá trị là

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên khoảng $(0 ;+\infty)$ thỏa mãn điều kiện $f(1)=3$ và $x\left(4-f^{\prime}(x)\right)=f(x)-1, \forall x>0$. Giá trị của f(2) bằng?

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x² và y = 2x là:

Cho hai hàm số $f\left( x \right),g\left( x \right)$ liên tục trên $\left[ {1;3} \right]$ thỏa mãn $\int\limits_1^3 {f\left( x \right)} dx = 1, \int\limits_1^3 {g\left( x \right)} dx = 3$. Tính $\int\limits_3^1 {\left[ {f\left( x \right) – 2g\left( x \right)} \right]} dx$?

Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (H): $y=\frac{x-1}{x+1}$ và các trục tọa độ. Khi đó giá trị của S bằng

Biết $f\left( x \right)$ là hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và $\int\limits_0^9 {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = 9$. Khi đó giá trị của $\int\limits_1^4 {f\left( {3x – 3} \right)} {\rm{d}}x$ là

Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x^{2}+x-2$ và trục hoành bằng
 

Tính tích phân $I = \mathop \smallint \nolimits_0^{\frac{{\rm{\pi }}}{2}} {\sin ^2}x{\cos ^3}xdx$

Cho hàm số f(x)>0 có đạo hàm liên tục trên $\left[0, \frac{\pi}{3}\right]$ , đồng thời thỏa mãn $f^{\prime}(0)=0 ; f(0)=1 \text { và } f^{\prime \prime}(x) \cdot f(x)+\left[\frac{f(x)}{\cos x}\right]^{2}=\left[f^{\prime}(x)\right]^{2}$. Tính $T=f\left(\frac{\pi}{3}\right)$

Khi tính $I=\int_{0}^{2} \sqrt{4-x^{2}} \mathrm{d} x$ bằng phép đặt $x=2 \sin t$ thì được